Раздаточный материал № 2 по теме:
“Комбинаторика и бином Ньютона”
СОДЕРЖАНИЕ
§1. Элементы комбинаторики.................................................................2
§2. Треугольник Паскаля.........................................................................5
§3. Бином Ньютона...................................................................................8
Контрольные вопросы...........................................................................11
Упражнения............................................................................................12
Ответы.....................................................................................................13
Литература..............................................................................................14
§1. Элементы
комбинаторики
Пусть n
N, тогда произведение всех натуральных чисел от "n" до единицы n·(n-1)·(n-2)...3·2·1 обозначим через n! (читается как эн-факториал).
Итак, имеем по определению: n!=n·(n-1)·(n-2)…3·2·1 (1.1).
Например, 5!=5·4·3·2·1=120, 
,
.
Рассмотрим конечное множество, содержащее "n" элементов.
Пусть n=5, а исходное множество суть {a,b,c,d,e}. Из этого множест-ва будем создавать подмножества двумя принципиально разными способами. В первом случае, реализуем обычный способ получения подмножеств, в которых порядок следования (перечисления) элеме-
нтов роли не играет. Такими подмножествами будут наборы элемен-тов, отличающиеся друг от друга или самими элементами или их
числом: {a,b}, {a,c}, {d}, {b,c,d,e}, {a,b,c,d}, {a,b,c}, {e,d,b}, … и т.д.
Создаваемые подмножества (наборы элементов), в которых порядок следования элементов роли не играет, будем называть
сочетаниями (комбинациями – отсюда и название комбинаторика).
Обозначать сочетания будем так: 
– число сочитаний из "n" эле-
ментов по "m" элементов. Выше приведённые наборы элементов
(подмножества) суть: 
, 
, 
и 
.В качестве несобственных подмножеств {a,b,c,d,e} и 
будут фигурировать, очевидно, 
и 
соответственно.
Теперь рассмотрим наборы элементов из того же множества {a,b,c,d,e}, учитывая порядок следования элементов в наборах элементов: {a;b}, {b;a}, {a;b;c}, {b;c;a}, {c;a;b}, {a;b;c;d}, {d;c;b;a},… и т.д. и т.п. Наборы элементов, в которых порядок следования (перечисления) элементов имеет определяющее значение, будем называть размещениями и обозначать так: 
– число размещений из "n" элементов по "m" элементов. Выше приведённые наборы элементов суть: 
, 
и
.
Получим формулу, по которой можно будет определить число
. Очевидно, что
; расположим эти размещения в столбик:
; 
.
Рассмотрим 
. Очевидно, что к каждому ранее выписанному в столбик размещению можно приписать в строке n-1 размещений, и всех будет n(n-1). Для определения 
достаточно ко всем размещениям приписать n-2 размещений, и тогда получим
или 
, откуда нетрудно
усмотреть общее правило для определения :
(1.2) 
, где m
n.
Если m=n, то имеем различные размещения в самом исходном множестве. В случае трёхэлементного множества {a,b,c} имеем:
{c;a;b}, {b;c;a}, {c;b;a}, {b;a;c} и {a;c;b}, то есть 
, включая и исходное множество. Размещения в исходном множестве называются перестановками и обозначаются так: 
– число перестановок из "n" элементов. Таким образом, перестановки являются частным случаем размещений при n=m. В формуле (1.2) при n=m имеем: 
, то есть:
(1.3) 
Пример. Решить уравнение 
.
Решение: ОДЗ: 
; отрицательное значение не удовлетворяет ОДЗ; стало быть, 
=10.
Формулу для определения числа размещений приведём к другому виду, домножив и разделив правую часть соотношения (1.2) на одно и тоже выражение, отличное от нуля:
,то есть:
(1.4) 
.
При выводе формулы предполагалось, что 
, то есть множество размещений имеет хотя бы один элемент. Если 
, то это означает, что рассматривается пустое множество; а так как пустое множество имеет только одно подмножество (само себя), то 
. Если условится, что 
, то формула (1.4) будет давать верный результат и в случае . В самом деле, 
.
Пример. Упростить: 
.
Решение: ОДЗ: 
.
.
Из определений сочетаний, размещений и перестановок следует, что:
(1.5) 
.
В самом деле, если во всех сочетаниях сделать перестановки 
, то получим все размещения . Исходя из соотношения (1.5), получаем:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
