Свойство VIII: Сумма биноминальных коэффициентов в любой строке треугольника Паскаля равна 
, где n – показатель степени соответствующего бинома, то есть: 
. Это свойство для трёхэлементного множества было рассмотрено ранее, причём было указано на его ценность вообще в теории множеств.
Свойство IX: В любой строке треугольника Паскаля сумма биноминальных коэффициентов, стоящих на нечётных местах, равна сумме биноминальных коэффициентов, стоящих на чётных местах, то есть:
, где m,k
N0 (данное обозначение включает и нуль во множество натуральных чисел).
Отождествление биноминальных коэффициентов в треугольнике Паскаля с соответствующими числами сочетаний позволяют записать формулы сокращённого умножения в виде:
,
.
Возникает вопрос: будут ли иметь место аналогичные формулы для более высоких натуральных степеней бинома?
Рассмотрим бином 
:
Так как 
(как начальные элементы строк), 
(как последние элементы строк), 
,
, 
, то
получим выражение для бинома четвёртой степени, аналогичное ранее рассмотренным, а именно:
.
Приведённые выкладки наводят на мысль: не будет ли формула:
справедлива для любого натурального "n". В следующем параграфе убедимся в этом с помощью метода математической индукции.
§3. Бином Ньютона
Теорема: для произвольных чисел "
" и "
" (
) и произвольного натурального числа "
" (
) справедлива формула:
(3.1) 
,
где 
– число сочетаний из "n" элементов по "k"элементов.
Для 
соотношение (3.1) приобретает вид: 
, так как 
; стало быть, для 
формула (3.1) верна.
Допустим, что формула (3.1) верна для 
, то есть:
(3.2) 
Докажем справедливость формулы (3.1) для 
. Итак, имеем: 
.
Выделим из первой суммы слагаемое, соответствующее 
(то есть "нулевое слагаемое"), а из второй суммы выделим слагаемое, соответствующее 
(то есть "последнее" слагаемое). Имеем: 
. Во второй сумме сделаем сдвижку нумерации слагаемых на одну позицию влево; при этом вместо "
" пишем 
, а вместо 
пишем "
". Получаем:
.
Учитываем, что 
, а 
; далее, 
(правило построения треугольника Паскаля, свойство II). Имеем: 
. Компактная сумма получилась в результате вовлечения в сумму предшествующего ("нулевого") и последующего ("последнего") слагаемых. Если теперь учесть, что 
, то получим формулу (3.1):
.
Таким образом, из допущения, что формула (3.1) верна для 
(соотношение (3.2)), следует, что она верна для 
, и, так как эта формула верна и при 
, то на основании принципа математической индукции ее справедливость установлена для всех натуральных значений "".
Соотношение (3.1) называется формулой Ньютона разложения натуральной степени бинома. Докажем с помощью формулы бинома Ньютона то положение, что сумма всех возможных подмножеств во множестве с числом элементов, равным "n", определяется числом, равным 2n (свойство VIII). Положив в формуле (3.1) 
, получим: 
, что и требовалось доказать. Если в формуле (3.1) положить, что 
, а 
, то получим: 
; при этом выражение 
можно представить как разность двух сумм с четными и нечетными значениями "": 
, 
, 
; из равенства сумм следует, что сумма биномиальных коэффициентов, стоящих на четных местах, равна сумме биномиальных коэффициентов, стоящих на нечетных местах (свойство IX).
Пример. Найти средний член разложения бинома 
.
Решение: так как показатель степени бинома является четным числом, то в разложении этого бинома будет один наибольший член; стало быть, надо найти пятый член (
). Имеем:
.
Ответ: 
.
Контрольные вопросы
1) Можно ли определить понятие множества?
2) Какие множества называются несобственными?
3) Важен ли порядок следования элементов во множестве при их перечислении?
4) Какие множества называются упорядоченными?
5) Какова сумма всех возможных подмножеств во множестве с конечным числом элементов в нем?
6) Что называется факториалом?
7) Чем отличаются сочетания от размещений?
8) Почему перестановки являются частными случаями размещений?
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
