Вопросы к экзамену по предмету «Интегральные уравнения и вариационное исчисление»
2012 г., группа 503
В каждом билете будет 2 вопроса и 2 задачи
Вариационное исчисление
Необходимое условие экстремума функционала
1. Что такое функционал. Примеры функционалов. Примеры вариационных задач. Вариация функции и функционала. Необходимое условие экстремума функционала: формулировка, доказательство.
2. Основная лемма вариационного исчисления: формулировка, доказательство, пример применения.
Уравнение Эйлера
3. Общая постановка задачи, которая приводит к уравнению Эйлера. Вывод уравнения Эйлера. Первые интегралы уравнения Эйлера.
4. Общая постановка задачи, которая приводит к уравнению Эйлера. Уравнение Эйлера (без вывода). Явная и неявная зависимости. Полная и частная производные. Пример вывода дифференциального уравнения для функции y(x), исходя из уравнения Эйлера.
5. Решение конкретной вариационной задачи с помощью уравнения Эйлера (например, задачи о маршруте из A в B, при котором время минимально): постановка задачи, метод решения, вывод дифференциального уравнения для y(x).
Система уравнений Эйлера
6. Общая постановка задачи, которая приводит к системе уравнений Эйлера. Вывод системы уравнений Эйлера. Пример независимых функций.
Условный экстремум
7. Задача на условный экстремум функционала при наличии дифференциальной связи: постановка задачи, вывод системы уравнений Эйлера с помощью метода множителей Лагранжа.
8. Изопериметрические задачи: постановка задачи, вывод уравнения Эйлера.
9. Задача о цепной линии: постановка задачи, метод решения, вывод дифференциального уравнения.
Вариационные задачи с подвижными границами
10. Постановка задачи. Вывод условия трансверсальности для одного из частных случаев.
11. Условие трансверсальности в общем случае (без вывода). Выяснение его геометрического смысла в конкретной задаче (например, в задаче с подвижной границей о маршруте, при котором время минимально).
Изопериметрическая задача с подвижной границей
12. Общая постановка изопериметрической задачи с подвижной границей. Метод решения. Решение задачи Дидоны с подвижной границей.
Интегральные уравнения
Классификация интегральных уравнений
1. Физический пример интегрального уравнения (например, задача гравиметрии). Обратные задачи.
2. Основные типы линейных интегральных уравнений. Задачи на собственные функции и собственные значения. Уравнение Вольтерры как частный случай уравнения Фредгольма.
Метод решения уравнений Фредгольма 2-го рода с вырожденным ядром. Теоремы Фредгольма
3. Метод решения уравнений Фредгольма с вырожденным ядром.
4. Первая теорема Фредгольма: доказательство для уравнений с вырожденным ядром, обобщение на произвольные фредгольмовы ядра.
5. Теорема Фредгольма об альтернативе: доказательство для уравнений с вырожденным ядром, обобщение на произвольные фредгольмовы ядра.
Решение неоднородных уравнений Фредгольма 2-го рода методом последовательных приближений
6. Метод построения ряда Неймана для уравнения Фредгольма. Рекуррентная формула для последовательных приближений. Теорема о сходимости ряда Неймана: формулировка, доказательство, следствие о собственных значениях однородного уравнения.
Решение неоднородных уравнений Вольтерры 2-го рода методом последовательных приближений
7. Ряд Неймана для уравнения Вольтерры. Рекуррентная формула для последовательных приближений. Теорема о сходимости ряда Неймана: формулировка, доказательство, следствие о характере решения однородного уравнения.
Уравнения Вольтерры типа свертки
8. Преобразование Лапласа (прямое и обратное). Односторонняя свертка и ее преобразование Лапласа.
Решение интегрального уравнения в общем виде с помощью преобразования Лапласа.
9. Решение задачи о маятнике Гюйгенса.
Уравнение Фредгольма типа свертки
10. Физический пример уравнения Фредгольма типа свертки: формулировка задачи и вывод уравнения. Метод решения уравнения.
