Лабораторная работа 4 (стр. 2 )

Как вам уже известно из указаний к л/р 3, произвольный дискретный сигнал может быть представлен в виде преобразования Фурье

, (13)

фактически представляющего собой суперпозицию комплексных синусоид всех частотот из интервала . Здесь - частотный спектр сигнала (функция, определяющая амплитуды и фазы синусоид различных частот, составляющих в совокупности исходный дискретный сигнал ) :

(14)

Подадим сигнал в виде (13) на вход ЛПП-системы. Учитывая свойство линейности системы и соотношения (10)-(11), выходной сигнал можно представить в виде :

(15)

Отсюда следуют два вывода.

1.  Зная функцию на интервале частот , мы имеем возможность рассчитывать выход системы при любом известном входе. Следовательно, как и импульсная характеристика , функция тоже однозначно определяет дискретную ЛПП-систему.

2.  Функция определяет закон преобразования частотного спектра входного сигнала в частотный спектр сигнала на выходе дискретной ЛПП-системы:

(16)

Учитывая все это, функцию , определяемую соотношением (12), называют частотной характеристикой дискретной ЛПП-системы. В заключение, отметим, что имеется обратное к (12) соотношение :

(17)

Оно позволяет восстановить импульсную характеристику системы при известной частотной характеристике.

Свойства частотной характеристики следуют из свойств Фурье-спектров действительных дискретных сигналов, рассмотренных в Лаб. работе 3. Функция

-  комплекснозначная : , где функцию - называют амплитудно-частотной характеристикой (АЧХ), - фазово-частотной характеристикой (ФЧХ);

-  периодичная с периодом , поэтому рассматривается на интервале либо ;

-  обладает комплексно-сопряженной симметрией относительно частоты на интервале , либо относительно при рассмотрении интервала , поэтому часто ее симметричный модуль и антисимметричную фазу рассматривают на интервале .

2.3 Передаточная (системная) функция дискретной ЛПП-системы

Есть еще одна функция, которая наряду с и однозначно определяет дискретную ЛПП-систему. Это передаточная функция, представляющая собой Z-преобразование импульсной характеристики системы :

(18)

Применив Z-преобразование к уравнению (6), связывающему вход и выход ЛПП-системы в виде дискретной свертки, получим

(19)

Применив обратное Z-преобразование, получим сигнал на выходе системы

(20)

Таким образом, знание передаточной функции также предоставляет возможность рассчитывать выход ЛПП-системы при известном входе .

NB. в полном смысле комплексная функция, заданная в комплексной Z-плоскости, и принимающая в каждой ее точке комплексные значения. Она наиболее сложна для восприятия, но именно она наиболее эффективна при описании различных дискретных ЛПП-систем, прежде всего систем, задаваемых с помощью линейных разностных уравнений.

Немного о линейных разностных уравнениях (ЛРУ)

ЛРУ M-го порядка определяется рекурсивной формулой вида :

(21)

ЛРУ представляют собой подмножество класса дискретных ЛПП-систем (12). Важность ЛРУ определяется тем, что они дают способы практической реализации ЛПП-систем. Действительно, в общем случае реализовать вычисления согласно (12) не представляется возможным, поскольку для хранения бесконечной импульсной характеристики потребуется бесконечно большая память, а для расчетов потребуется бесконечно большое время. Но вот если найти для (12) эквивалентное представление в виде (21), то проблемы решаются при наличии конечного числа сумматоров, умножителей и элементов задержки.

Можно отметить еще один «источник» ЛРУ. Это математические модели, с помощью которых пытаются экономно описать те или иные явления и процессы. В частности, при исследовании случайных процессов очень широко применяются т. н. модели авторегрессии-скользящего среднего (АРСС) (см. Лаб. работу 1). По форме записи АРСС-модель полностью совпадает с записью ЛРУ (21): при этом входной процесс типа «белый шум», выходной стационарный случайный процесс, свойства которого определяются порядком модели и конкретными значениями коэффициентов модели .

С математической точки зрения ЛРУ М-го порядка представляет собой дискретный аналог дифференциального уравнения М-го порядка с постоянными коэффициентами для непрерывных функций. Как и в случае дифференциальных уравнений, необходимо задать начальные условия (в нашем случае в виде 2М начальных значений входного и выходного сигнала). После этого, можно получить аналитическое решение ЛРУ, определяющее правило расчета отсчетов выходного сигнала в любой момент n при известном входном сигнале . Существуют различные методы решения ЛРУ, но наиболее эффективным считается метод Z-преобразования. Применив Z-преобразование к обеим частям ЛРУ (21), можно получить :

(22)

Далее к (22) применяется обратное Z-преобразование и получается искомое решение :

(23)

Техника расчета интегралов вида (23) стандартна, хоть и достаточно трудоемка.

Отметим, что коэффициент в виде отношения полиномов по степеням при в формуле (22) есть не что иное, как передаточная функция системы:

(24)

Применив к (24) обратное Z-преобразование, получим импульсную характеристику, которая в общем случае будет иметь бесконечную длительность :

, (25)

3. Цифровые фильтры: КИХ-фильтры и БИХ-фильтры

Цифровой фильтр - специализированное устройство либо процедура, преобразующие входные цифровые сигналы в выходные. ЦФ разделяют на линейные и нелинейные. Линейные ЦФ – те, которые реализуется согласно схемам ЛПП-системы (12,21), нелинейные ЦФ – фильтры, реализация которых отличается от схемы ЛПП-системы. На практике наиболее часто используют линейные ЦФ.