Лабораторная работа 4 (стр. 1 )

Лабораторная работа 4

Тема: Дискретные ЛПП-системы: импульсные характеристики, частотные характеристики, передаточные функции. Цифровые фильтры: КИХ-фильтры и БИХ-фильтры. Программирование КИХ-фильтров в прямой форме и на основе процедуры БПФ. Структурные схемы реализации БИХ-фильтров. Проектирование БИХ-фильтров с заданными частотными свойствами на основе интерактивной процедуры подбора нулей и полюсов передаточной функции в Z-плоскости. Программирование БИХ-фильтров.

Теоретические предпосылки

Цель настоящей работы – ознакомление с основными схемами реализации цифровых фильтров (ЦФ). Цифровой фильтр - специализированное устройство либо процедура, преобразующие входные цифровые сигналы в выходные. Наиболее часто на практике используют т. н. линейные ЦФ, функционирующие в соответствии со схемой дискретной ЛПП-системы. Поэтому в значительной мере теория цифровой фильтрации основана на теории ЛПП-систем, основные положения которых мы ниже рассмотрим.

NB. Эти теоретические разделы необязательны. Их можно пропустить и сразу приступать к практической части лабораторной работы (последние две страницы).

1. ЛПП-системы (линейные системы с постоянными параметрами)

1.1 Понятие системы

Система – алгоритм (техническое устройство, математическая модель, функция и т. д.), переводящий множество входных сигналов в множество выходных сигналов. Мы далее будем говорить о системах с одним входом и одним выходом. Всякой системе можно сопоставить некоторый оператор A :

, где - входной и выходной сигналы.

NB!. Оператор A в общем случае воздействует сразу на весь сигнал, а не на его единственное значение в момент времени t.

1.2 Линейная система

Пусть для некоторой системы A :

, .

Система A называется линейной, если при подаче на ее вход линейной комбинации сигналов выходной сигнал будет представлять собой линейную комбинацию выходных сигналов , т. е. :

, при любых .

1.3 Система с постоянными параметрами

Пусть . Если при подаче на вход системы сдвинутого во времени входного сигнала на выходе будет просто сдвинутый выходной сигнал , то система называется инвариантной во времени, или системой с постоянными параметрами.

1.4 ЛПП-система

ЛПП-система - линейная система с постоянными параметрам.

ЛПП-системы – важный класс систем. Многие реальные системы (как естественные – природные, так и искусственные – созданные человеком) можно с тем или иным приближением считать ЛПП-системами. Это дает возможность при их описании использовать единый математический аппарат – теорию ЛПП-систем. Важнейшими понятиями этой теории являются понятия импульсной характеристики, частотной характеристики, передаточной (системной) функции. С этими важными понятиями вы уже должны быть знакомы из лекционного курса “Теории сигналов”, но там основное внимание было уделено непрерывным во времени сигналам. Далее мы кратко рассмотрим основные понятия теории дискретных ЛПП систем, поскольку именно она составляют базовую теоретическую основу применения методов цифровой обработки сигналов.

2. Дискретные ЛПП-системы

Дискретные системы преобразуют входные дискретные сигналы (последовательности) в выходные :

.

Условие линейности дискретных систем:

, при любых . (1)

Условие постоянства параметров системы во времени:

, при любой задержке . (2)

Все дальнейшее будет относиться к дискретным ЛПП-системам, т. е. системам, удовлетворяющим условиям (1), (2).

2.1 Сигнал “единичный импульс”

В теории дискретных ЛПП-систем важное место занимает сигнал “единичный импульс” (аналог дельта-функции для непрерывных сигналов) :

(3)

Любой дискретный сигнал может быть представлен в виде свертки его самого же с единичным импульсом (3) :

(4)

Это очевидное соотношение (аналог фильтрующего свойства дельта-функции), широко используется в теории дискретных ЛПП-систем.

2.2 Импульсная характеристика дискретной ЛПП-системы

Подадим на вход дискретной ЛПП-системы тестовый сигнал “единичный импульс” и получим его отклик.

, (5)

Этот отклик будет каким-то определенным для для данной ЛПП-системы, другим - для другой системы, третьим - для третьей и т. д. Иными словами, функция (5) определяет ЛПП-систему, поэтому ее называют импульсной характеристикой дискретной ЛПП-системы. Если известна импульсная характеристика, то при всяком известном входном сигнале возможно рассчитать выходной сигнал по формуле :

(6)

Соотношения типа (6) называют дискретными свертками. Т. е. можно сказать, что выход дискретной ЛПП-системы представляет собой дискретную свертку входного сигнала с импульсной характеристикой системы.

Многие дискретные ЛПП-системы, в частности реализуемые в виде цифровых устройств, должны удовлетворять следующим двум важным условиям.

I.  Условие физической реализуемости

Выход зависит только от , т. е. не зависит от будущих значений входного сигнала. Это условие выполняется, если

(7)

В этом случае возможно переписать формулу (6) :

(8)

Т. е. каждый отсчет выходного сигнала определяется взвешенной суммой текущего и предыдущих отсчетов входного сигнала. Понятно, что при бесконечном суммировании возможно запросто получить бесконечные значения выходного сигнала. Этого желательно избежать, поэтому должны быть наложены дополнительные ограничения на импульсную характеристику - наверное она должна достаточно быстро убывать.

II.  Условие устойчивости системы

Система устойчива, если из условия следует . Необходимым и достаточным условием устойчивости дискретной ЛПП-системы является следующее ограничение на импульсную характеристику :

, (9)

которое может быть выполнено при достаточно быстром убывании импульсной характеристикой при больших по модулю значениях индекса m.

2.2 Частотная характеристика дискретной ЛПП-системы

Итак, дискретная ЛПП-система однозначно определяется своей импульсной характеристикой , поскольку она дает возможность предсказать выход системы при любом входе согласно (6). А есть ли еще какая-нибудь подобная характеристика, которая к тому же более явно описывала бы свойства ЛПП-системы? Да, есть. Это частотная характеристика ЛПП-системы .

Подадим на вход системы дискретизированную комплексную синусоиду частоты :

, (10)

Подставив (10) в (6), получим, что выходной сигнал может быть записан в виде:

(11)

где комплексный коэффициент есть преобразование Фурье (см. методические указания к лаб. работе 3) импульсной характеристики :

(12)

Иными словами, дискретная синусоида остается синусоидой той же частоты . Действие комплексного коэффициента приводит лишь к изменению амплитуды синусоиды в раз, и фазовой задержке на величину радиан.