Лабораторная работа 4 (стр. 4 )

Шаг 3. Расчет выходного сигнала , с помощью обратного ДПФ

Этот алгоритм может дать вычислительные преимущества по сравнению с (27) при использовании процедуры БПФ. Как известно, для использования БПФ вместо ДПФ цифровые последовательности должны быть дополнены нулями до ближайшей степени двойки. Как правило, применение описанного метода целесообразно при .

Линейные (апериодические) свертки. конечных последовательностей

Рассмотрим две конечные последовательности и с длиной и отсчетов соответственно. Линейной сверткой этих последовательностей называют последовательность , определяемую соотношением :

(31)

где и равны нулю вне соответствующих интервалов.

Последовательность является конечной и имеет длину отсчетов. При этом на начальных отсчетах она в точности совпадает с последовательностью на выходе цифрового КИХ фильтра (27) (здесь =K). Для расчета линейной свертки также может использоваться алгоритм на основе ДПФ-БПФ :

Шаг 1. Дополнение сигналов и нулями до ближайшей к степени двойки.

Шаг 2. Вычисление БПФ расширенных сигналов и .

Шаг 3. Расчет БПФ выходного сигнала

Шаг 4. Расчет выходного сигнала с помощью обратного БПФ

Шаг 5. Оставляем первые отсчетов в качестве выходной последовательности реализованного КИХ-фильтра.

Этот алгоритм требует больше затрат чем ранее описанный, но он более точный, и при достаточно длинных входных последовательностях он также дает вычислительные преимущества по сравнению с прямой сверткой (27).

БИХ –фильтры (фильтры с Бесконечной Импульсной Характеристикой)

Зная требуемую частотную характеристику проектируемого фильтра , возможно построить соответствующий ей устойчивый физически реализуемый цифровой фильтр на основе линейного разностного уравнения :

(32)

Вычисления согласно (32), очевидно, можно реализовать и в специализированных цифровых устройствах и в виде программных процедур на универсальных компьютерах. Как мы знаем (см. (21)-(25) ) ЛПП-системе на основе разностного уравнения соответствует в общем случае импульсная характеристика бесконечной длительности. Поэтому ЦФ на основе (32) называют БИХ-фильтрами – фильтрами с Бесконечной Импульсной Характеристикой. В английской транскрипции – IIR (Infinite Impulse Response). Отметим, что, как правило, спроектированный БИХ фильтр тоже является лишь некоторой аппроксимацией системы с требуемой частотной характеристикой, тем более точной, чем больше порядок фильтра (N, M). В целом при использовании БИХ-фильтров оказывается возможным при меньших вычислительных затратах по сравнению с КИХ-фильтрами построить цифровую систему, с заданным качеством воспроизводящую требуемые частотные свойства. Вместе с тем, есть и определенные недостатки по сравнению с КИХ-фильтрами, а в целом КИХ и БИХ фильтры используются в практических исследованиях примерно в равных соотношениях.

4. Проектирование БИХ-фильтров с заданными частотными свойствами на основе подбора нулей и полюсов передаточной функции

В полном объеме задача проектирования БИХ-фильтров с заданной частотной характеристикой представляет собой весьма большой раздел теории цифровой фильтрации, и некоторые его классичекие аспекты мы затронем в последующих л/р. Здесь же представляется целесообразным только прояснить некоторые основные идеи подходов к проектированию БИХ-фильтров.

Как известно, передаточная функция ЦФ на основе ЛРУ (32) определяется выражением :

(33)

и представляет собой отношение полиномов по степеням . (NB. Выражение в теории цифровой фильтрации имеет фундаментальное значение, оно интерпретируется как оператор задержки цифрового сигнала на один отсчет. Тогда его различные степени являются операторами задержки на соответствующее число отсчетов).

Помимо (33) возможны другие формы записи передаточной функции. В частности возможно представление в виде :

, (34)

где множитель , а и - нули полиномов соответственно в числителе и знаменателе передаточной функции (33). Параметры называю нулями передаточной функции, а - полюсами. Для того чтобы геометрически представить передаточную функцию достаточно нанести все ее нули (ноликами) и полюса (крестиками) на комплексную z-плоскость. Отметим, что полином N-й степени с действительными коэффициентами имеет ровно N корней (нулей). При этом может оказаться некоторое число действительных корней и некоторое число пар комплексно-сопряженных корней (). Таким образом при графическом представлении нули и полюса отображаются либо на вещественной оси либо сопряженными парами сверху и снизу относительно вещественной оси ( рис. 1). Также на графике обычно отображают единичную окружность , поскольку частотная характеристика фильтра представляет собой результат расчета значений передаточной функции в точках единичной окружности. Полный проход по окружности соответствует рассмотрению интервала частот .

Рис. 1 Передаточная функция БИХ-фильтра порядка (2,3).

Рассмотрение графического представления передаточной функции полезно также в связи с проблемой обеспечения устойчивости БИХ-фильтра. Все полюса устойчивого фильтра должны располагаться внутри единичного круга. Нули могут располагаться как внутри так и вне единичного круга.

Управляя расположением нулей и полюсов в комплексной Z-плоскости, возможно целенаправленно формировать требуемый вид частотной характеристики. Для этого следует знать, что нули «подавляют» близкорасположенные значения частотной характеристики, а полюса «поощряют». Действительно, можно показать, что значение амплитудно-частотной характеристики фильтра на некоторой частоте (рис.1) может быть представлено в виде :

(35)

где , - расстояния соответственно от нулей и полюсов до соответствующей точки на единичной окружности.