Третий тур (стр. 2 )

5. В треугольнике АВС проведены биссектрисы AD и BE. Известно, что AE + BD = AB. Найдите величину угла С.

Ответ: ÐC = 60°. Отметим точку F так, что AF = AE, получим FB = BD. В равнобедренных треугольниках EAF и FBD биссектрисы углов A и B являются высотами и медианами. Значит, в треугольнике EFD они тоже являются высотами и медианами. Отсюда следует, что треугольник равносторонний. Осталось заметить, что ÐAFE +ÐEFD +ÐDFE = 180°= 90° – ÐA/2 + 60°+ 90° – ÐB/2.

6. Точки E и F являются серединами сторон AB и BC выпуклого четырехугольника ABCD соответственно. Отрезки DE и DF пересекают диагональ AC в точках M и N, так что AM = MN = NC. Докажите, что ABCD – параллелограмм.

В треугольнике BMC отрезок NF является средней линией (по условию MN = NC и BF = FC). Значит, BM и FN параллельны. В треугольнике ANB отрезок ME является средней линией (по условию AM = MN и AE = EB). Значит, BN и EM параллельны. Тем самым получаем попарную параллельность противоположных сторон BN и MD, BM и ND четырехугольника BMDN. Значит, его диагонали в точке пересечения делятся пополам. Из условия AM = NC, значит, и AO = OC. Это означает, что диагонали AC и BD в точке пересечения делятся пополам, а сам четырехугольник есть параллелограмм.

7. В классе 30 учеников. Первый дружит с одним одноклассником, второй – с двумя, третий – с тремя, 29-й – с 29-ю. Сколько друзей у тридцатого?

Ответ: 15. Заметим, что 29-й ученик дружит со всеми и, начиная с первого до 28-го и с 30-м. При этом первый ученик дружит только с ним (с 29-м). Удалим из класса первого и 29-го. В классе останется 28 учеников, при этом 28-й дружит с 27-ю, 27-й с 26-ю, третий с двумя, второй с одним. В этой ситуации 28-й дружит со всеми, а только с ним. Удалим из класса второго и 28-го…. Ситуация аналогичная исходной снова повторяется. После ухода пары 14-й и 16-й останутся только 30-й и 15-й, у которого один друг, он 30-й. При уходе каждой из четырнадцати пар уходил один друг 30-го. Итак, у 30-го изначально было 15 друзей.

8. Найдите все простые числа p и q, для которых значения и , есть простые числа.

Ответ: таких простых чисел нет. Во-первых, p и q больше 2. Действительно, если p = 2, то из первого q делитель 8, значит, тоже равен 2, но в этом случае 9/2 – целое число. Противоречие. Если q = 2, то из первого следует четность простого числа p, то есть p =2, что как замечено выше невозможно. Во-вторых, если p и q больше 2, то p и q нечетные числа. Тогда есть четное простое число, значит, . Подставим полученное выражение в первую дробь, получим условие: есть простое число. Далее, если q > 29, то . Значит, q может быть 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29. Из соотношения , получаем пары (p, q) это (3, 5), (7, 7), (19, 13), из которых ни одна не выдерживает проверку первым соотношением. Примечание. Пара (19, 13) при подстановке в первую дробь дает 1, но 1 не есть простое число.

9 классы

1.  Пусть Ω - окружность с центром в точке O, A – точка вне окружности. Для каждой точки Р окружности Ω отметим точку M пересечения биссектрисы угла POA с окружностью, описанной около треугольника POA. Найти геометрическое место точек М.

2.  Пусть AB, BC, EF – хорды длины 1 в окружности единичного радиуса. Докажите, что середины отрезков CE, AF и точка B являются вершинами равностороннего треугольника.

2А. Две окружности радиусов 3 и 4, расстояние между центрами которых равно 5, пересекаются в точках A и B. Через точку B проведена прямая, пересекающая окружности в точках C и D, причем точка B лежит между C и D. Известно, что CD=8. Найти площадь треугольника ACD.

Ответ: 384/25.

3.  Имеется шесть внешне одинаковых монет массой 1, 2, 3, 4, 5 и 6 г. На монеты приклеены этикетки с надписями: 1 г, 2 г, 3 г, 4 г, 5 г, 6 г. Как за два взвешивания на чашечных весах без других гирь определить, верно ли наклеены этикетки?

Решение. Проверяем, верно ли, что 1+2+3=6. Если это так, то 6 наклеена верно и {1,2,3} содержит действительно 1, 2 и 3; соответственно, делаем вывод, что {4,5} содержит действительно {4,5}. Вторым взвешиванием проверяем, что 3+5>1+6. Сумма слева - максимальная из возможных, а сумма справа - минимальная, это однозначно фиксирует 1, 3, 5. 2 и 4 определяются путем исключения.

3а. Одна из 2017 монет – фальшивая, которая отличается по весу от настоящих. Как за два взвешивания выяснить, легче она или тяжелее настоящих (саму монету находить не нужно)?

Разделим монеты на группы 1000, 1000 и 17 монет. Взвесим первые две группы. В случае равенства получим, что 2000 монет на весах – настоящие, далее сравним 17 из них с отложенными монетами. В случае неравенства разделим монеты более тяжелой чаши на две группы по 500 и сравним, если получилось равенство, то фальшивая монета легче, а если неравенство, то тяжелее настоящей.

4.  На доске написано число 1000000. Двое играют в такую игру: своим ходом можно либо разложить любое число на два больших единицы сомножителя и выписать их на доску, стерев с доски исходное, либо найти на доске два совпадающих числа и стереть с доски одно из них или оба. Кто не может сделать ход — проигрывает. Кто выиграет при правильной игре?

Ответ. Выиграет начинающий. Решение. Первым ходом первый раскладывает 1000000000 на и , а затем любую операцию, проделанную вторым над одним из этих чисел или его «потомками», дублирует на втором числе или его «потомках». Это возможно, поскольку «потомки» произведения 6 двоек и произведения 6 пятёрок не взаимодействуют между собой.

5.  При каких значениях параметра а корни уравнения являются целыми числами?

Решение. Во-первых, подходит. Пусть и уравнение имеет целые корни. С помощью теоремы Виета получаем, что целые. Тогда и n – делиПеребирая делители и выполняя проверку, получим ответ: .

6.  Натуральные числа от 1 до 2017 записаны на карточках, всего 2017 карточек. Какое наименьшее число карточек нужно достать, чтобы среди оставшихся карточек не нашлось трех так, что на двух карточках были бы записаны некоторые числа, а на третьей – их произведение?

Ответ: 43 карточки. Пример. Удалим карточки 2, 3, …, 44. Тогда для любых карточек x>1, y>1 имеем:, то есть условие выполнено.

Оценка. Рассмотрим тройки чисел: . Числа, входящие в тройки, различны (произведения различны, так как при сближении чисел с фиксированной суммой произведение увеличивается). Из каждой тройки должно быть удалено по крайней мере одно число. Поэтому удаленных карточек должно быть не менее 43.

7.  Какую длину может иметь несамопересекающийся путь по сторонам клеток из верхнего левого угла в нижний правый угол квадрата 8´8? Укажите все варианты.

Ответ: все чётные числа от 16 до 80. Решение: Раскрасим 81 узел сетки в шахматном порядке и заметим, что каждым ходом мы меняем цвет узлов, но нужные нам узлы будут одного цвета, значит, всего будет чётное количество ходов. При этом кратчайший путь будет составлять 16 ходов (8 - по горизонтали и 8 - по вертикали), а самый длинный – 80 – проходит по всем узлам решётки. Остальные же чётные значения длины пути реализуются сокращением самого длинного пути на два узла.

8.  Решите систему уравнений:

Ответ: x=y=z=4 и x=y=z= -6. Решение: Прибавим к каждому уравнению в обе части по единице и разложим левые части на множители. Получим, что (x+1)(y+1)=(y+1)(z+1)=(z+1)(x+1)=25. Отсюда все выражения в скобках равны между собой и получим два случая - либо они равны 5, либо они равны -5.

Математический бой №3 (Старшая группа, подгруппа А)

1.  Действительные числа x и y удовлетворяют равенству: . Вычислить x + y. Ответ. 0. Решение. Умножим данное соотношении на , тогда , или . Если умножить исходное равенство на , аналогично получаем . Очевидно, из полученных двух равенств следует, что