Третий тур (стр. 3 )

2.  Действительное число  удовлетворяет уравнению: . Вычислить Ответ. . Решение. Пусть , тогда Преобразуя вторую дробь, получим: . Отсюда Так как , то

3.  В остроугольном треугольнике ABC угол A меньше 45°. Биссектриса угла C и перпендикуляр, проведённый из точки B к стороне AC, пересекают окружность, описанную около треугольника ABC, в точках и соответственно. Найдите угол , если. Ответ. . Решение. Возможны две ситуации:

1) , в этом случае и ; 2) , в этом случае . Из условия задачи вытекает, что второй случай невозможен.

4.  AE – хорда окружности W. Окружность w касается этой хорды и одной из дуг AE. Q – середина второй дуги AE. Хорда QP касается окружности w в точке C и пересекает AE в точке B (w находится внутри криволинейного треугольника PAB). Доказать, что AC – биссектриса угла PAB.

Решение. Заметим, что подобен . Поэтому . Поэтому - равнобедренный. .

5.  Решить систему:

Решение. Если - наименьшее из всех , то . Значит, и все . Сложив все неравенства, получим, что . Следовательно, все .

6.  В древнем Египте, площадь четырехугольника находили по формуле: , где a, b, c и d – последовательные стороны четырехугольника. Может ли результат вычислений по этой формуле быть меньше истинного значения площади? Ответ. Нет. Решение. Достаточно доказать неравенство , для сторон четырехугольника, идущих в произвольном порядке. Если a, b, c и d - длины последовательных сторон четырехугольника, то четырехугольник можно разделить на два треугольника и со сторонами a, b и c, d, соответственно. Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними, а модуль синуса меньше 1. Поэтому, Если a, b и c, d - пары противоположных сторон, то четырехугольник может быть разделен на два треугольника по диагонали, и один из треугольников можно "перевернуть" таким образом, что противоположные стороны будут рядом и площадь не изменится.

7.  Сколько различных значений принимает функция ? ( - целая часть числа x, то есть наибольшее целое число, не превосходящее x). Ответ.10. Решение. Легко проверить, что функция имеет период (наименьший), равный 1. Поэтому все значения этой функции – это значения на промежутке.Очевидно, что при . Так как - возрастающая (неубывающая) функция x, то - также неубывающая. Ее значения изменяются (возрастают) при переходе через такие , для которых найдутся натуральные числа: k и , что . Отсюда, все значения функции - это значения при и ( и ), то есть , среди которых 10 различных.

8.  В плоскости расположены равносторонний треугольник ABC и точка P. Известно, что и Найти наибольшее возможное значение Ответ. 5. Решение. Пусть А, В, С и Р - такие точки плоскости, что , Проведем из точки В такой луч ВМ, что, и отложим на этом луче отрезок (рис а). Из равенства углов: вытекает, , и поэтому треугольник равносторонний (так как). Следовательно, Далее, (так как ). Следовательно, . Таким образом, ломаная имеет длину , а поэтому длина отрезка не может быть больше 5.