Третий тур (стр. 4 )

Построение примера. Рассмотрим с углом при вершине равным (). На стороне во внешнюю сторону построим равносторонний треугольник . Тогда четырехугольник вписанный. Применяя теорему Птолемея, получаем .

Математический бой №3 (Старшая группа, подгруппы B и C)

1.  В футбольной премьер-лиге 16 команд. Чемпионат проходит в два круга. Каждая команда встречается с каждой: один раз дома, второй – в гостях. В каждом туре (в один день) встречаются 8 пар команд. Можно ли составить календарь встреч таким образом, чтобы домашние игры для каждой команды чередовались с выездными? Ответ. Нельзя. Решение. Предположим такой календарь составить можно. Пусть в первом туре первые 8 команд играли дома. Тогда во втором все они играли в гостях, в третьем дома и т. д. В результате в первых 8 турах эти 8 команд должны сыграть со всеми оставшимися командами. В 9 туре какие-то две из них играют между собой. Противоречие.

2.  Даны четыре равенства: ; . Сколько среди этих равенств могут оказаться неверными? Ответ. 0,2,3,4. Решение1. Пусть имеется неверное равенство. Если равенство верное, тогда и три оставшихся равенства также будут верными. Следовательно, равенство не является верным. Если три оставшихся равенства верны, тогда , то есть . Но это равенство неверное. Значит неверно еще одно из оставшихся равенств. Решение2.Занумеруем равенства: (1) ; (2) ; (3) ; (4) . Каждое из них можно получить, сложив два равенства с номерами противоположной ему четности и вычтя из суммы равенство одной с ним четности. Поэтому, если верны какие то три из них, то верно и четвертое. То есть, ровно одно равенство неверным быть не может.

3.  Действительные числа x и y удовлетворяют равенству: . Вычислить x + y. Ответ. 0. Решение. Умножим данное соотношении на , тогда , или . Если умножить исходное равенство на , аналогично получаем . Очевидно, из полученных двух равенств следует, что

4.  Действительное число  удовлетворяет уравнению: . Вычислить Ответ. . Решение. Пусть , тогда Преобразуя вторую дробь, получим: . Отсюда Так как , то

5.  В остроугольном треугольнике ABC угол A меньше 45°. Биссектриса угла C и перпендикуляр, проведённый из точки B к стороне AC, пересекают окружность, описанную около треугольника ABC, в точках и соответственно. Найдите угол , если. Ответ. . Решение. Возможны две ситуации:

1) , в этом случае и ; 2) , в этом случае . Из условия задачи вытекает, что второй случай невозможен.

6.  AE – хорда окружности W. Окружность w касается этой хорды и одной из дуг AE. Q – середина второй дуги AE. Хорда QP касается окружности w в точке C и пересекает AE в точке B (w находится внутри криволинейного треугольника PAB). Доказать, что AC – биссектриса угла PAB.

Решение. Заметим, что подобен . Поэтому . Поэтому - равнобедренный. .

7.  Решить систему:

Решение. Если - наименьшее из всех , то . Значит, и все . Сложив все неравенства, получим, что . Следовательно, все .

8.  В древнем Египте, площадь четырехугольника находили по формуле: , где a, b, c и d – последовательные стороны четырехугольника. Может ли результат вычислений по этой формуле быть меньше истинного значения площади? Ответ. Нет. Решение. Достаточно доказать неравенство , для сторон четырехугольника, идущих в произвольном порядке. Если a, b, c и d - длины последовательных сторон четырехугольника, то четырехугольник можно разделить на два треугольника и со сторонами a, b и c, d, соответственно. Площадь треугольника равна половине произведения сторон на синус угла между ними, а модуль синуса меньше 1. Поэтому, Если a, b и c, d - пары противоположных сторон, то четырехугольник может быть разделен на два треугольника по диагонали, и один из треугольников можно "перевернуть", таким образом, что противоположные стороны будут рядом и площадь не изменится.