Третий тур (стр. 1 )

Третий тур

7 класс

1. Старуха Шапокляк переставила на калькуляторе две кнопки местами – на одной кнопке знак «×», на другой знак «+». Следовательно, при вводе 2 × 3 + 4, калькулятор показывает 14, так как вычисляет 2 + 3 × 4. Укажите (с доказательством) набор всех троек натуральных чисел (a, b, c), для которых запись a × b + c даст Чебурашке правильный ответ.

Ответ: если b = 1, или a = c. Следующие соотношения равносильны , . Последнее соотношение равносильно тому, что a = c или b = 1.

2. Квадрат некоторого числа состоит из цифр 0, 2, 3, 5. Что это за число?

Ответ: 3025. Последней цифрой может быть только 5, поскольку квадраты натуральных чисел не оканчиваются ни на 2, ни на 3. Кроме того, если число оканчивается на 0 и является квадратом, то оно оканчивается на два нуля. Если квадрат натурального числа оканчивается на 5, то он делится на 5, значит, делится на 25. Числа, делящиеся на 25, могут оканчиваться на 00, 25, 50, 75. Если число оканчивается на 50, то оно делится на 2, но не делится на 4, значит, не может быть квадратом. Запись числа не может начинаться с цифры 0. Итак, искомое число это 3025 = 452.

3. На доске написано число 23. Каждую минуту, выполняется следующая процедура: написанное число стирается, а на место него записывается произведение его цифр плюс 12 (например, после первой минуты будет записано число 2 × 3 + 12 = 18). Какое число будет на доске через один час? Manhattan Mathematical Olympiad 2010

Ответ: 16. Выполним несколько операций:

23→2∙3+12=18→1∙8+12=20 → 2∙0 + 12 = 12→

→1∙2 + 12 = 14→1∙4 + 12 = 16 →1∙6 + 12 = 18.

Замечаем, что число 18 появилось во второй раз, причем через 5 минут после появления первый раз. Значит, с периодичностью в 5 минут, оно будет появляться после: 1, 6, 11, 16, …, 61 минуты, а после 60-ой минуты появится число 16.

4. Имеется 8 монет, среди которых могут быть фальшивые монеты, весящие одинаково, но меньше настоящих и точно есть настоящие. Как не более чем за три взвешивания, проверить, есть ли на самом деле фальшивые монеты с помощью чашечных весов без гирь?

Во-первых, отметим, что на чаши весов необходимо класть одинаковое количество монет. Занумеруем монеты числами от 1 до 8. Произведем три взвешивания следующим образом: 1) {1} и {2}; 2). {1, 2} и {3, 4}; 3) {1, 2, 3, 4} и {5, 6, 7, 8}. Как только при взвешивании нарушается равновесие, то сразу делаем вывод о наличии фальшивых монет. Пусть далее каждый раз получили равенство чаш. Заметим, что все монеты весят одинаково. Действительно, из первого взвешивания следует монеты 1 и 2 одинаковые. Из второго взвешивания можно сделать вывод, что каждая из монет 3 и 4 весит столько же, сколько монеты 1 и 2. Аналогичный вывод о следующих четырех монетах делается на основании третьего взвешивания.

5. Можно ли разрезать равносторонний треугольник на 2017 равносторонних треугольников?

Ответ: да можно.

Первое решение. Показано на рисунке, где на нижнем основании построено 1007 равносторонних треугольников, над ними 1006 таких же равносторонних треугольников, затем еще 4.

Второе решение. Заметим, что если разрезать по отрезкам, соединяющем середины сторон равностороннего треугольника, то вместо одного треугольника получим четыре. Иными словами эта операция добавляет три треугольника. Поскольку 2017 =1 + 672 × 3, выполнив 672 операции получим 2017 равносторонних треугольников?

6. В треугольнике ABC угол A равен 30°, а угол C равен 105°. Найдите угол между медианой BM и стороной AB.

Ответ: 15°. Проведем высоту CH. Тогда треугольник ACH – прямоугольный с углом в 30°. Как известно, медиана прямоугольного треугольника, проведенная к гипотенузе, меньше ее в два раза, поэтому в треугольнике CHM равны MH и CM. А так как угол C этого треугольника равен 60°, то CHM – правильный. Треугольник BCH – прямоугольный с углом в 45°, поэтому он равнобедренный. Тогда MH = HC = BH. То есть треугольник BMH – равнобедренный с углом при вершине в 150°. Из этого следует, что искомый угол равен 15°.

7. Набор отрезков, длина каждого из них есть натуральное число от 1 до 12, назовем подходящим. Подходящий набор назовем хорошим, если в этом наборе найдутся три отрезка, из которых можно сложить треугольник. При каком минимальном числе отрезков любой подходящий набор является хорошим.

Ответ: 7. Оценка. Пусть имеется подходящий набор из семи отрезков. Обозначим длины отрезков a1 ≤ a2 ≤ a3 ≤ a4 ≤ a5 ≤ a6 ≤ a7. Допустим, что этот набор не является хорошим. Во-первых, 1 ≤ a1 ≤ a2. Во-вторых, должно выполняться неравенство a1 + a2 ≤ a3, поскольку в противном случае из отрезков a1, a2, a3 можно сложить треугольник. Значит, 2 ≤ a3, точно также из a2 + a3 ≤ a4 будет следовать 3≤ a4. Далее последовательно получим 5 ≤ a5, 8 ≤ a6, 13 ≤ a7. Последнее неравенство противоречит условию. Приведем пример подходящего набора из шести отрезков, который не является хорошим: 1, 1, 2, 3, 5, 8.

8. У Лисы пять нор, расположенных в ряд. Каждую ночь Лиса перемещается в соседнюю нору, либо влево или вправо. Днем она сидит в этой норе. В полдень Серый Волк может проверить любую одну нору по своему усмотрению. Какая стратегия позволит Серому Волку обнаружить Лису?

Пусть норы пронумерованы от 1 до 5. Серому Волку достаточно проверить норы в следующей последовательности: 2, 3, 4, 2, 3, 4.

Разобьем норы на две группы A = {1, 3, 5} и B= {2, 4}. В первый полдень Лиса находится либо в A, либо в B. В дальнейшем, Лиса каждую ночь перебегает из нор группы A в одну из нор группы B, а на следующую ночь наоборот. Легко заметить, что если в первый полдень Лиса была в B, то серией проверок 2, 3, 4, она будет неминуемо обнаружена. Допустим, что Лиса первый полдень была в A, тогда в четвертый полдень она окажется в группе B. Следовательно, повторной серией 2, 3, 4 она будет обнаружена.

Еще одно объяснение достаточности серии проверок 2, 3, 4, 2, 3, 4. Пусть F обозначает набор нор, где может скрываться Лиса. Первоначально, F = {1, 2, 3, 4, 5}. Если в первый полдень Лисы нет в норе 2, то во второй полдень F = {2, 3, 4, 5}. Если во второй полдень Лисы нет в норе 3, то в третий полдень F = {1, 3, 4, 5}. Если в третий полдень Лисы нет в норе 4, то она в F = {2, 4}. Если в четвертый полдень Лисы нет в норе 2, то она в F = {3, 5}. Если в пятый полдень Лисы нет в норе 3, то она в F = {4}.

Замечание. Каждая из серий проверок: 2, 3, 4, 4, 3, 2; 4, 3, 2, 2, 3, 4; 4, 3, 2, 4, 3, 2 также приносит успех в поисках Лисы.

8 класс

1. Школьник прочитал книгу за три дня. В первый день он прочитал 0,2 всей книги и ещё 16 страниц, во второй день – 0,3 остатка и ещё 20 страниц. В третий день – 0,75 остатка и последние 30 страниц книги. Сколько страниц в книге?

Ответ: 270. Пусть x – количество страниц в книге. Тогда в первый день он прочитал 0,2x + 16, осталось 0,8x – 16. Во второй день прочитано 0,3(0,8x – 16) + 20 = 0,24x + 15, 2; за два дня прочитано 0,44x +31,2; осталось прочитать 0,56x –31,2. Получаем итоговое соотношение 0,75(0,56x –31,2) + 30 +0,44x +31,2 = x. Откуда находим x.

Второе решение. Пойдем с конца. В третий день последние 30 страниц составляют 0,25 остатка, значит за третий день прочитано 120 страниц. Во второй день 0,7 остатка это 20 и 120 страниц, значит, весь остаток это 140/0,7 = 200 страниц. Из информации о первом дне следует, что 0,8 книги имеют 16 + 200 = 216 страниц, а вся книга 216/0,8 = 270 страниц.

2. Можно ли на плоскости нарисовать семь окружностей так, чтобы каждая касалась ровно пяти окружностей?

Ответ: нет, нельзя. Допустим это возможно. Тогда рассмотрим пары касающихся друг друга окружностей. Таких пар должно быть – противоречие, поскольку число должно быть целым.

3. За круглым столом сидели несколько лжецов и рыцарей. Первый сказал: «Не считая меня, здесь лжецов на одного больше, чем рыцарей» Второй сказал: «Не считая меня, здесь лжецов на два больше, чем рыцарей», и так далее вплоть до последнего. Сколько человек могло сидеть за столом?

Ответ: 2 или 3. Пусть всего n человек. Все лжецами быть не могут, иначе (n − 1)-й сказал правду. Все заявления противоречат друг другу, поэтому рыцарь ровно 1. Он сидит на (n −1)-м месте. Для лжеца верным будет утверждение: «Не считая меня, здесь лжецов на (n−3) больше, чем рыцарей». Чтобы оно не прозвучало, должно быть n − 3 < 1, то есть n < 4.

4. Известно, что a + b + c = 0 и a > b > c. Найдите все значения с/a.

Ответ: . Из условия следует, что 1 + b/a + c/a = 0 и 1 > b/a > c/a. Поэтому , и .