Устойчивость одного дифференциально-разностного уравнения с постоянным коэффициентом (стр. 2 )

3. Область симметрична относительно вещественной оси , т. е. если , то и .

Рассмотрим образ единичной окружности , , при отображении и функцию , , задающую . Пусть в функции выделены вещественная и мнимая части ; выражение зависит от конечного числа параметров, т. е. , , для уравнения (2) . Пусть известны все или часть нулей функции , т. е. , при которых , .

Теорема 2 (теоремы 2, 3 в [1]).

1) Пусть в точке пространства параметров уравнения (1) ( прямой параметра уравнения (2)) при некотором имеем: и , тогда точка принадлежит области неустойчивости уравнения (1).

2) Пусть в точке при всех , для которых , имеет место неравенство , тогда точка принадлежит области асимптотической устойчивости уравнения (1).

Замечание 1. Система

,

задает область асимптотической устойчивости уравнения (1) в пространстве параметров уравнения (1). А именно, если уравнение имеет решений , , , на промежутке , то для каждого корня находим область параметров , при которых . Область находим пересечением областей , . Далее, для каждого корня находим область параметров , при которых . Область находим объединением областей , .

Учитывая замечание 1 , получаем, что система , (6)

имеющая место для всех найденных одновременно, задает область асимптотической устойчивости уравнения (2) на прямой параметра уравнения (2)

Замечание 2. Уравнения

,

определяют на прямой точки, в которых уравнение имеет корень на единичной окружности, т. е. .

§ 1. Область неустойчивости

Построим область неустойчивости (4) для уравнения (2)

, (7)

используя теорему 2.

Функция имеет вид

, . (8)

Условие выполнено. Функции

, ,

, имеют вид

, (9)

.

Согласно теореме 2, для построения области неустойчивости уравнения (2) следует найти такие значения параметра уравнения (2), при которых корни уравнения дают отрицательный знак числу . Уравнение эквивалентно уравнению

. (10)