Окончательно, учитывая, что 
в (7), (20), с помощью теоремы 2 доказана следующая теорема.
Теорема 4. Область
– область неустойчивости 
уравнения (2) на прямой 
.
§ 2. Область асимптотической
устойчивости
Покажем с помощью теоремы 2, что (3), или 
, – область асимптотической устойчивости уравнения (2) на прямой 
. Для этого следует записать систему (6)
, 
,
с функциями (9).
Основные преобразования этой системы такие же, как в §1 приводящие к системе (11). Ограничения на параметр 
получаем, находя такие 
, при которых имеет место система
, (21)
причем одновременно для всех найденных 
.
Теорема 3 об уменьшении промежутка для 
имеет место и здесь, поэтому считаем, что 
.
уравнению в (21) удовлетворяет, при 
неравенство в (21) принимает вид 
, или
, (22)
что является первым найденным ограничением на 
. Неравенство (22) задает область 
.
уравнению в (21) удовлетворяет, при неравенство в (21) имеет вид 
и выполнено для 
. Дополнительных ограничений к неравенству (22) не появляется.
Рассмотрим систему (21) при 
. Уравнение в (21) эквивалентно совокупности уравнений
, 
,
которую следует рассматривать лишь при четных 
, 
, 
. При нечетных , 
, , неравенство в (21) выполняется при 
и при всех существующих .
В итоге, система (21) принимает вид
. (23)
Учитывая (22), неравенство в (23) преобразуется в неравенство
,
которое уменьшает промежуток для , теперь имеем: 
. Таким образом, система (23) эквивалентна уравнению
, 
, , (24)
с помощью которого определяется область 
.
Рассмотрим уравнение в (24) при 
, 
, (25)
или 
. (26)
Чтобы уравнение (26) имело корень на промежутке 
от 
надо потребовать выполнения условия (см. рис. 1, график функции 
, )
. (27)
Неравенства (22), (27) задают область 
, 
, а именно 
.
Отметим, что в случае 
уравнение в (25) имеет единственное решение 
, при котором система (21) выполнена.
В случае 
равенство (26) возможно при некотором одном 
, при своем фиксированном , на котором 
, а уравнение в (25) имеет два корня: 
и 
.
Область содержится в . Уравнение (24) с 
не имеет корней при всех значениях 
, что означает отсутствие еще каких-либо ограничений на 
. Промежуток 
не может быть уменьшен, поэтому 
. Итак, учитывая, что , с помощью теоремы 2 доказана
Теорема 5. Область на прямой есть область асимптотической устойчивости для уравнения (2) .
Замечание 4. Равенство 
в (19) и (27) возможно лишь при 
, которое в результате доказательств исключается и в теореме 4, и в теореме 5.
Замечание 5. В точке 
прямой 
функция 
имеет простой нуль 
(единственный) на единичной окружности 
; при этом задача (2) имеет решение 
, 
.
В точке прямой функция имеет простой нуль 
(наибольший по модулю) на единичной окружности; при этом задача (2) имеет ограниченное решение, не стремящееся к 0 при 
. В этих случаях уравнение (2) устойчиво (неасимптотически).
Рис. 1. График функции
Список литературы
1. О критерии устойчивости дифференциально-разностных уравнений // Вестник Пермского университета. Математика. Механика. Информатика. 2011. Вып. 3(7). С. 6–11.
2. Об устойчивости решений дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами // Известия АН СССР. 1966. Т. 30, вып. 5. С. 971–974.
3. Об устойчивости функ-ционально-дифференциальных уравнений: дис. … канд. физ.-мат. наук. Пермь, 1983. 101 с.
4. Устойчивость линейных дифференциально-разностных уравнений с периодическими коэффициентами: дис. … канд. физ.-мат. наук. Пермь, 2000. 130 c.
5. , , и др. Устойчивость линейных систем с последействием. I // Дифференц. уравнения. 1987. Т. 23, № 5. С. 745–754.
6. , Устойчивость уравнений с запаздывающим аргументом // Известия вузов. Математика. 1997. № 6. С. 3–16.
7. , Устойчивость решений уравнений с обыкновенными производными. Пермь: изд-во ПГУ, 2001. 230 с.
8. , Введение в теорию аналитических функций. М.: Просвещение, 1977. 320 с.
The stability of one differential-difference
equation with one delay and the constant coefficient
S. M. Sedova
Perm National Research Polytechnic University, Russia, 614990, Perm, Komsomolsky Av., 29
*****@***ru; (342) 2-391-697
It is built the known asymptotic stability domain and the known instability domain for one linear differential-difference equation on the straight of the equation parameter the new method.
Key words: differential equation with delay; asymptotic stability domain; instability domain.
© , 2015
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
