Устойчивость одного дифференциально-разностного уравнения с постоянным коэффициентом (стр. 1 )

УДК 519.929

Устойчивость одного дифференциально-разностного уравнения с постоянным

коэффициентом

Пермский национальный исследовательский политехнический университет

Россия, 614990, Пермь, Комсомольский пр., 29

*****@***ru; (342) 2-391-697

Построены известные области асимптотической устойчивости и неустойчивости одного скалярного дифференциально-разностного уравнения с одним запаздыванием и с постоянным коэффициентом на прямой параметра уравнения способом, развиваемым автором.

Ключевые слова: дифференциальное уравнение с запаздывающим аргументом; области асимптотической устойчивости и неустойчивости.

Введение

Предлагаемая работа продолжает исследования, опубликованные в работе [1] .

В [1] для задачи Коши дифференциально-разностного уравнения с периодическими коэффициентами

, (1)

,

где периодическая функция с периодом , , , т. е. периоды рационально соизмеримы запаздываниям , , был сформулирован критерий устойчивости, полученный в [2], [3], [4], в редакции работы [4]. В [4] критерий имеет вид: пусть , , пусть функция Коши уравнения (1) [5], [6], [7], – характеристическая функция уравнения (1) [4], функция Коши имеет экспоненциальную оценку

, ,

при некоторых (задача I) тогда и только тогда, когда наименьший по модулю корень уравнения лежит вне единичного круга: (задача II). В этом критерии задача устойчивости (задача I) сведена к задаче о расположении нуля целой функции комплексного переменного относительно единичной окружности (задача II) .

В работе [1] предложен способ решения задачи II, сформулированный в теоремах 2, 3, которые названы основными. В [1] характеристическая функция обозначена через и подчеркнута зависимость от конечного числа параметров , . В основных теоремах критерий устойчивости приобретает такую формулировку, которая позволяет строить (или описывать) область асимп-тотической устойчивости в пространстве параметров , а также область неус-тойчивости .

В предлагаемой работе с помощью теоремы 2 (теоремы 2 и 3 [1]) осуществлено построение известных [2] областей и для уравнения с одним запаздыванием , , и постоянным коэффициентом , ,

, (2)

.

Области и находятся на прямой , здесь параметр: область асимптотической устойчивости имеет вид

, (3)

область неустойчивости имеет вид

. (4)

Приведем необходимые для данной работы обозначения и результаты. В работе [4] получена характеристическая функция уравнения (2)

. (5)

Как видно из выражения (5), функция зависит от одного параметра , который обозначим , , т. е. , . Функция целая функция в комплексной плоскости .

Критерий устойчивости для задачи Коши уравнения (2) имеет следующую формулировку.

Теорема 1. Пусть наименьший по модулю нуль функции , если , то уравнение (2) асимптотически устойчиво, если , то уравнение (2) неустойчиво, если , то уравнение (2) устойчиво (неасимптотически).

Сформулируем теоремы 2, 3 из [1].

Пусть рассматривается уравнение (1), характеристическая функция уравнения (1), целая функция на плоскости . Известно, что . Пусть единичный круг на плоскости : . образ единичного круга при отображении , линия, ограничивающая . . Отметим свойства множества :

1. замкнутая кривая. Кривая может иметь точки самопересечения (т. е. может не являться жордановой кривой [8]).

2. область (открытое связное множество в ) [8].