Устойчивость одного дифференциально-разностного уравнения с постоянным коэффициентом (стр. 3 )

Таким образом, ограничения на параметр получаем, находя такие , при которых имеет место система

. (11)

Промежуток для можно уменьшить согласно следующей теореме.

Теорема 3. В системе (11) достаточно считать, что .

Доказательство. Пусть рассмотрен случай , где . По системе

, , (12)

где , , которая является системой (11) с уменьшенным промежутком для , построена область . Тогда для случая , т. е. для , сделаем замену переменной . Здесь имеет место , , или , , или , . Система (11) в результате подстановки не изменяется, т. е. если в (12) считать , то будет построена та же область . В итоге можно считать, что в системе (11), или рассматривать систему (12) для построения области . ■

Замечание 3. Теорема 3 имеет место в силу свойства 3 области .

Начнем рассматривать систему (11) при крайних значениях , . уравнению в (11) удовлетворяет, при неравенство в (11) принимает вид , или

, (13)

что является первым найденным ограничением на . Неравенство (13) задает область на прямой .

уравнению в (11) удовлетворяет, при неравенство в (11) имеет вид и не выполняется ни при каких . не является решением системы (11), дополнительных ограничений к неравенству (13) не появилось.

Рассмотрим корни уравнения (10) на интервале . Уравнение (10) эквивалентно совокупности уравнений

, ,

которую следует рассматривать лишь при четных , , ,

, (14)

что обосновывается следующим образом : при нечетных неравенство в (11) имеет вид , которое не выполнено ни при каких .

Рассмотрим случай в (14), т. е. уравнение

, , (15)

или . График функции ,

, приведен на рис. 1.

Пусть некоторое – решение уравнения (15). Неравенство в (11) принимает вид , или , что эквивалентно совокупности систем

, ,

или

, (16)

. (17)

Если решение уравнения (15) на промежутке , то соответствующее (см. график функции) и система (16) несовместна с уравнением (15). Не появилось нового ограничения на .

Рассмотрим уравнение (15) и систему (17). Уравнение (15) перепишем в виде

, (18)

откуда получим ограничение на . Чтобы уравнение (15) (или (18)) имело решение на промежутке при (это условия в (17)), необходимо, чтобы выполнялось неравенство

. (19)

Таким образом, найдено еще одно ограничение на . Неравенство (19) задает область на прямой .

Объединяя (13) и (19) получаем, что при

(20)

уравнение (2) неустойчиво.

Рассмотрим уравнение (14) при . Для того чтобы сделать вывод, что (20) – область неустойчивости уравнения (2) на прямой , следует показать, что корни уравнения (14) при не изменяют области (20). Существование этих корней следует рассмотреть лишь при . Однако при , , равенство в (14) невозможно ни при каком конкретном . В итоге, система (11) несовместна при таких , область в (20) не увеличивается.