Численные методы, ч.1 (стр. 18 )

(7.3.3)

Для аппроксимации уравнения (7.3.1) используем конечные разности (7.1.2) и (7.1.4)

Обозначим . После преобразований получаем явную четырехточечную сеточную схему, в которой значение функции на слое по времени выражается через три соседних значения на нижнем, - ом слое:

(7.3.4)

Формула (7.3.4) позволяет последовательно найти все значения сеточной функции, начиная со слоя , на котором заданы начальные условия (7.3.3). Однако вычисления по этой формуле устойчивы только в том случае, если выполняется условие . Это накладывает жесткие ограничения на шаг сетки по времени, обязывая выбирать этот шаг намного меньшим, чем шаг по пространственной координате, что существенно увеличивает время расчета и ограничивает применимость явной схемы.

Для аппроксимации уравнения (7.3.1) может быть использована левая конечная разность (7.1.2)

, что приводит к неявной четырёхточечной разностной схеме , (7.3.5) которая устойчива при любых соотношениях шагов сетки.

Из (7.3.5) следует, что для каждого слоя по времени значения неизвестной сеточной функции , связаны СЛАУ с трехдиагональной матрицей. В этой матрице на главной диагонали находится значение , а на двух соседних диагоналях -. Значение на главной диагонали близко к , т. к. значение , как правило, . Вектор в правой части (7.3.5)(при постоянном значении ) известен из вычислений на предыдущем шаге по времени и входит в правую часть СЛАУ.

Последовательно решая СЛАУ (7.3.5), начиная со слоя , можно вычислить сеточную функцию во всей области решения. Система (7.3.5) может быть решена как стандартным методом ( т. к. порядок системы не слишком велик - ), так и специальными методами применяемыми для решения систем с трехдиагональными матрицами, например, методом прогонки [2].

рис.2

На рис.2 представлен расчет установления температуры в стержне, проведенный по неявной схеме (7.3.5), при следующих начальных и граничных условиях: , ; , , ; , . Шаги сетки по времени и по пространственной координате , . При данном значении расчеты по явной схеме (7.3.4) были бы невозможны из-за большой неустойчивости. Число шагов по и по соответственно M=10, N=100.

7.4.  Уравнения эллиптического типа

Двумерные краевые задачи для уравнений данного типа рассмотрим на примере уравнений Лапласа, Пуассона и Гельмгольца. Обозначим, как обычно, оператор Лапласа

Тогда указанные уравнения имеют вид: 1.Уравнение Лапласа 2.Уравнение Пуассона 3.Уравнение Гельмгольца

Граничные условия задаются на границе области : ,в частности, на границе прямоугольника : , , ,

7.4.1. Разностная схема уравнений

Разностную схему рассмотрим на примере уравнения Пуассона в прямоугольнике, используя для аппроксимации второй производной конечные разности второго порядка точности (7.1.4). Вводя сетку , получаем ,

или, введя обозначение , получаем пятиточечную разностную схему для внутренних узлов прямоугольника

(7.4.1)

Данная неявная схема охватывает все внутренние точки области , их количество . Таково же число уравнений и неизвестных в СЛАУ, построенной на основе (7.4.1).

Пусть для простоты для всех , т. е. для всех внутренних точек , , а граничные условия таковы: внизу , слева и справа , и только наверху задана отличная от нуля функция . Зададим , . Тогда , а число внутренних точек и уравнений . Матрица СЛАУ для данной задачи задается по следующему закону (на языке пакета Mathcad):

Здесь , - это индексы матрицы , они связаны с другими, ранее введенными индексами для узлов сетки. Сеточная функция , , выражается через найденный в результате решения СЛАУ вектор решения , следующим образом: .