Численные методы, ч.1 (стр. 4 )

,

необходимо подставить данные из табл. 2.3.

.

После преобразований получим:

Проверка:

Пример. Построить интерполяционные полиномы Ньютона по предыдущей таблице узловых точек.

№	x	y
0	0	1	1	0	-3
1	0.5	2	1	-3
2	1	3	-2
3	1.5	1

Первый интерполяционный полином Ньютона.

;

;

Второй интерполяционный полином Ньютона:

;

.

Варианты задаются по номерам столбцов табл.2.4 и 2.5 в виде дробей: , например, означает, что для узловых точек по х и у выбираются девятый и второй варианты соответственно. Каждый студент должен получить три таких дроби для расчета интерполяционного полинома Лагранжа, первого и второго интерполяционного полинома Ньютона. Результат необходимо представить в виде: ,

где коэффициенты правильные или не правильные дроби, не десятичные. Проверка производится подстановкой узловых точек.

Таблица 2.4

	Варианты
n	1	2	3
0	0	-0,5	-1
1	0,5	0	-0,5
2	1	0,5	0
3	1,5	1	0,5

Таблица 2.5

	Варианты
n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15
0	-1	2	1	-1	2	1	-1	2	1	1	-1	0	2	2	1
1	2	-1	2	0	1	1	2	-2	2	-1	-1	-1	0	1	-2
2	1	1	-1	-1	-1	-1	-2	-1	-1	2	2	2	-1	0	-1
3	1	0	1	2	2	2	1	1	-1	1	-2	1	2	-2	-1

 

3. Численные методы решений трансцендентных и алгебраических уравнений

Общий вид уравнения . Решить уравнение, т. е. найти его корень, означает определить такое, что .

Во многих случаях точное значение найти невозможно, поэтому используются приближенные методы, когда значение корня определяется с заданной точностью . Геометрически корень – это пересечение графиком функции оси .

Задача делится на 2 этапа:

Локализация корня – т. е. нахождение интервала, на котором изолирован единственный нужный нам корень. Выбор интервала производится путем анализа знака в ряде пробных точек. Этот процесс в общем виде не алгоритмизируется. Уточнение положения корня на интервале локализации.

Свойства функции на интервале локализации [a, b]:

2.1.  непрерывна на [a, b]

2.2.  монотонна на [a, b] , т. е. или , что обуславливает единственность корня

2.3.  меняет знак на [a, b], , т. е. корень существует.

2.4.  не имеет точек перегиба, т. е. или .

Последние условия не являются в общем случае обязательными, но для сходимости некоторых методов они необходимы. Так, если функция имеет корень в точке своего локального минимума, условие 2.3. не выполняется, однако оно необходимо для сходимости методов дихотомии, хорд и секущих. Для сходимости метода секущих также необходимо выполнение условия 2.4.

Нахождение приближенного значения корня – это итерационный процесс, когда по предыдущему (предыдущим) значениям корня находится следующее приближенное значение. Итерационный процесс прекращается, когда достигается заданная точность:

(3.1)

Для этого необходимо, чтобы процесс итераций сходился. Рассмотрим несколько итерационных процедур.

3.1. Метод простой итерации для решения нелинейных и трансцендентных уравнений

Уравнение преобразуется к виду

(3.1.1)

и, если выполняется условие

, (3.1.2)

то итерационный процесс:

(3.1.3)

сходится к точному значению. Действительно, , из теоремы о среднем следует оценка: , т. е., расстояние между точками последовательности уменьшается, если - (= q – знаменатель сходимости). По теореме о неподвижной точке в этом случае существует предел - решение уравнения. Начальная точка - любая точка интервала локализации корня. Знаменатель сходимости зависит от вида . Уравнение может быть преобразовано к итерационному виду (3.1.1) множеством различных способов – модификаций одношагового стационарного метода простой итерации (см. также 3.3), выбором которых можно добиться минимума знаменателя сходимости.