Численные методы, ч.1 (стр. 1 )

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ

РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ИНСТИТУТ

РАДИОТЕХНИКИ, ЭЛЕКТРОНИКИ И АВТОМАТИКИ

(ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ)

С. П. КУЛИКОВ, А. Б. САМОХИН, В. В. ЧЕРДЫНЦЕВ

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ,

Ч. 1

УЧЕБНОЕ ПОСОБИЕ

МОСКВА 2005

ББК 22.193

К90

УДК 519.6

1602120000

Рецензенты:

, к. ф.-м. н., доцент РУДН

, к. ф.-м. н., доцент МИКХиС

К90 , , Чердынцев методы, ч. 1: Учебное пособие / Московский государственный институт радиотехники, электроники и автоматики (технический университет) – М., 2005. – с.

ISBN 5-7339-0211-6

Рассмотрены численные методы решения прикладных математических задач. Учебное пособие написано для студентов, обучающихся по математическим специальностям факультета кибернетики. Оно может быть полезным также при изучении дисциплин “Математическое моделирование” и “Методы оптимизации”.

Табл.3, Ил.60, Библиогр.: 4 назв.

Печатается по решению редакционно-издательского совета Московского государственного института радиотехники, электроники и автоматики (технического университета).

Без объявл. ББК 32.849+32.973-04

ISBN 5-7339-0211-6

© ,

,

.

2005

Введение

Пятидесятилетняя эволюция ЭВМ от первых ламповых до современных серийных с быстродействием порядка операций в секунду привела к развитию математического моделирования и численного анализа практически во всех отраслях человеческого знания. Развитие технических возможностей, математического и программного обеспечения ЭВМ показали несовершенство некоторых классических методов решения инженерных и научно-технических задач, что обусловило развитие новых методов их численного решения. Проблема выбора оптимального численного метода решения как с точки зрения экономии ресурсов ЭВМ, так и снижения результирующей погрешности требует определенного опыта и вычислительной практики.

Настоящее пособие является введением в численные методы. В конце каждой темы приведены задания для практических занятий, выполнение которых позволяет глубже понять и усвоить вычислительные алгоритмы. При их решении допустимо использование инженерных калькуляторов и применение математических пакетов прикладных программ.

1. Абсолютная и относительная погрешности.

Численные методы служат для нахождения приближенного решения математических задач. Любое приближенное решение связано с ошибкой (погрешностью). Виды ошибок:

1.  Погрешность математической модели, связанная с неполными знаниями о процессе.

2.  Погрешность упрощения модели.

3.  Погрешность, связанная с приближенным характером начальных данных.

4.  Погрешность округления при расчетах.

Первые две погрешности относятся к систематическим, а две последние - к статистическим ошибкам. Для их оценки вводится абсолютная и относительная погрешности.

Абсолютная (предельная) погрешность – определяет интервал, в котором лежит точное значение величины.
Пусть А - точное значение величины (неизвестно), а а- приближенное значение величины (известно). За абсолютную погрешность принимается минимальное число, удовлетворяющее условию:

(1.1)

При статистических измерениях погрешность задается с определенной достоверностью, т. е. вероятность события больше определенной величины . Перепишем определение: , то есть точное значение лежит в заданном интервале. Для оценки качества измерений вводится относительная погрешность:

. (1.2)

Заданные величины или позволяют записать точное значение А в символическом виде: или .

1.1. Число верных знаков приближенного числа

Приближенное число можно представить в виде:

, (1.1.1)

где m- величина старшего разряда, n- текущий номер знака, отсчитываемый слева направо. Говорят, что первых знаков приближенного числа верные, если абсолютная погрешность удовлетворяют условию: , то есть меньше половины соответствующего разряда. Подбирается минимальное число вида большее, чем и сравниваются разряды.

1.2. Погрешность функций

Пусть дана функция от n приближенных значений , погрешности которых известны. Требуется определить погрешность функции .
, где - абсолютная погрешность приближенной величины . Если , то разность, стоящую в формуле можно оценить в линейном приближении:

Отсюда следует оценка погрешности:

, (1.2.1)

1.3. Погрешность простейших функций двух переменных

Погрешность суммы:

Погрешность разности:

При качество измерений разности ухудшается.

Замечание: Абсолютная погрешность суммы и разности n приближенных величин равна сумме их абсолютных погрешностей.

Погрешность произведения:

То есть предпочтительней сначала найти относительную погрешность, а затем искать абсолютную:
Замечания:

·  Относительная погрешность степени есть произведение модуля показателя на относительную погрешность основания степени:.

·  Относительная погрешность произведения n сомножителей приближенных величин равна сумме относительных погрешностей сомножителей:
.
Погрешность частного:

Все замечания сделанные для произведения справедливы и в этом случае.

1.4. Примеры и задания

Пример: дано приближенное число 3457,0 погрешность - 0,6. Найти число верных знаков. Цифра 3 входит в число с весом 103, (1.3) то есть m=3. , минимальное k=1, , то есть верны три знака
Пример: Дан куб, сторона которого , измерена с точностью . Определить погрешности измерения поверхности и объема куба: