Численные методы, ч.1 (стр. 20 )

7.5.3. Эллиптические уравнения

Решить заданную краевую задачу методом сеток, сведением её к СЛАУ и последующим решением прямым (стандартным) и итерационным (Зейделя-ОСП) методами. Сравнить с существующим строгим решением.

Варианты заданий для краевой задачи с уравнениями эллиптического типа (см. 7.4).

№ п/п	Уравнение
3.1	1	1	1		0	0	0	0.2, 0.1	-
3.2	2	1	1					0.2, 0.1	-1
3.3	1	1	1		0.2, 0.1	-
3.4	3	1	1		0.2, 0.1	0,
3.5	1	1	1	0		0		0.2, 0.1	-
3.6	2	1	1					0.2, 0.1
3.7	1	4	4	10	120	90	40	0.5, 0.25	-
3.8	2	1	1		0.2, 0.1	- 2
3.9	1	2	2	10	20	30	40	0.25,0.1	-
3. 10	2	1	1					0.2, 0.1	2

уравнения: 1-Лапласа, 2-Пуассона, 3-Гельмгольца

Литература

1.  , , Кобельков методы. – М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2001. – 632с.

2.  , , Численные методы. Использование MATLAB, 3-е издание,: Пер. с англ. – М.: Изд. «Вильямс», 2001. – 720 с.

3.  , . Численные методы и программирование на Фортране для персонального компьютера.- М.: Радио и связь, 1996. – 224 с.

4.  , Марон вычислительной математики. – М.: Наука, 1970. – 644с.

5.  , Численные методы (Математический анализ и обыкновенные дифференциальные уравнения) – М.: Высшая школа, 2001.– 382с.

6.  , , Лапчин методы. – М.: Просвещение, 1991. – 176с.

Содержание

Введение. 3

1. Абсолютная и относительная погрешности. 3

1.1. Число верных знаков приближенного числа. 4

1.2. Погрешность функций. 5

1.3. Погрешность простейших функций двух переменных. 5

1.4. Примеры и задания. 6

2. Приближение функций. 10

2.2. Интерполяционный полином Лагранжа. 11

2.3. Интерполяционный полином Ньютона. 12

2.3. Примеры и задания для практических занятий. 15

3. Численные методы решений трансцендентных и алгебраических уравнений 18

3.1. Метод простой итерации для решения нелинейных и трансцендентных уравнений. 19

3.2. Метод хорд и секущих. 20

3.3. Метод касательных. 21

3.4. Скорость сходимости итерационных методов. 22

3.5. Пример и задание для практических занятий. 24

4. Численное интегрирование. 25

4.1. Метод Ньютона – Котеса. 25

4.2. Метод прямоугольников. 26

4.3. Метод трапеций. 27

4.4. Метод парабол. (Метод Симпсона) 28

4.5. Квадратурные формулы Гаусса. 29

4.6. Задание для практических занятий. 31

5. Численные методы линейной алгебры.. 32

5.1. Численное решение СЛАУ.. 32

5.2. Прямые методы решения СЛАУ.. 35

5.2.1. Метод Гаусса (Метод исключений) 36

5.2.2. Вычислительная схема метода Гаусса. 37

5.2.3. Ортогонализация матриц. 39

5.2.4. Решение системы уравнений методом ортогонализации. 40

5.3. Итерационные методы решения СЛАУ.. 41

5.3.1. Метод простой итерации. 41

5.3.2. Метод Якоби и метод Зейделя. 43

5.3.3. Метод оптимального спектрального параметра (ОСП) для простой итерации. 46

5.4. Нахождение собственных векторов и собственных значений матриц 52

5.5. Примеры и задания к теме. 53

5.5.1. Прямые методы решения СЛАУ.. 53

5.5.2. Итерационные методы решения СЛАУ.. 57

5.5.3. Нахождение собственных значений и векторов. 61

6. Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений 62

6.1. Метод разложения в ряд Тейлора. 63

6.2. Общая схема метода Рунге - Кутта. 63

6.3 Методы Рунге-Кутта низших порядков. 64

6.3.1 Метод Эйлера. 64

6.3.2. Метод трапеций и прямоугольника. 65

6.4. Методы Рунге-Кутта высших порядков. 65

6.5. Задание к теме и пример решения ОДУ.. 67

7. Численное решение начально-краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных. 68

7.1. Конечные разности. 69

7.2. Гиперболические уравнения. 70

7.3. Параболические уравнения. 72

7.4. Уравнения эллиптического типа. 75

7.4.1. Разностная схема уравнений. 75

7.5. Лабораторные задания к теме «Численное решение уравнений в частных производных». 79

7.5.1. Гиперболические уравнения. 79

7.5.2. Параболические уравнения. 80

7.5.3. Эллиптические уравнения. 80

Литература. 82

Содержание. 83