Производная функции и ее практическое применение (стр. 2 )

Решение:

1) Область определения функции:

2) Исследование функции на чётность:

Вывод: функция нечётная.

Поэтому сначала построим её график при х>0, а затем симметрично отобразим его относительно начала координат.

3) Нули функции: точек пересечения с осями нет.

4) Критические точки функции:

5) Исследование функции на монотонность и экстремумы:

х		2
	-	0	+
	функция убывает		функция возрастает

6) Асимптоты функции:

а) прямая х=0 является вертикальной асимптотой графика функции, т. к.

б) прямая у=х является наклонной асимптотой графика функции, т. к.

Значит прямая у=1х+0, у=х является наклонной асимптотой.

7) Построение графика функции (рис.11):

Вычисление пределов с помощью производной функции. Раскрытие неопределённостей

Правило Лопиталя (Теорема Лопиталя)

Пусть функция f(x) и g(x) определены и дифференцируемы в некоторой окрестности точки за исключением быть может, самой точки . Кроме того, пусть , причём в указанной окрестности точки . Тогда если существует предел отношения ( конечный или бесконечный), то

существует и предел , причём справедлива формула:

Эта теорема верна и если .

Правило Лопиталя можно применять повторно, если и удовлетворяют тем же требованиям, что и исходные функции и .

Если имеет место неопределённость вида , то правило Лопиталя остаётся справедливым при замене условия на условие.

Задача Вычислить предел

Решение:

Здесь неопределённость вида . Применим правило Лопиталя последовательно два раза, так как эта неопределённость имеет место дважды.

.

Задача Вычислить предел

Решение:

2 Применение производной функции в алгебре

Понятие производной функции можно с успехом применять в алгебре при рассмотрении вопроса о существовании корней уравнения, при доказательстве некоторых тождеств и упрощении выражений.

Применение производной к доказательству неравенств

Одно из простейших применений производной к доказательству неравенств основано на связи между возрастанием и убыванием функции на промежутке и знаком ее производной. С помощью теоремы Лагранжа доказана теорема:

Теорема 1. Если функция на некотором интервале имеет производную всюду на , то на монотонно возрастает; если же всюду на , то на монотонно убывает.

Очевидным следствием (и обобщением) этой теоремы является следующая:

Теорема 2. Если на промежутке выполняется неравенство , функция и непрерывны в точке и , то на выполняется неравенство .

Задачи:

10. Пусть . Докажите истинность неравенства . (1)

Решение: Рассмотрим на функцию . Найдем ее производную: . Видим, что при . Следовательно, на убывает так, что при . Но Следовательно неравенство (1) верно.

Применение производной для упрощения алгебраических и тригонометрических выражений

Прием использования производной для преобразования алгебраических и тригонометрических выражений основан на том, что производная иногда имеет значительно более простой вид, чем исходная функция, благодаря чему, она легко интегрируется, что и позволяет найти искомое преобразование исходного выражения.

Задача Упростить запись функции:

Решение:

Применение обычного аппарата тригонометрии приведёт к относительно громоздким выкладкам. Здесь удобнее воспользоваться производной:

Отсюда