Производная функции и ее практическое применение (стр. 1 )

Центр роста "Аурум" Всероссийское сетевое издание Образовательный проект «Я гений» Конкурс исследовательских работ «Я - ИССЛЕДОВАТЕЛЬ»

_____________________________________

Производная функции и ее практическое применение Лебедовский Иван

ГБОУ АО СПО «Астраханский государственный политехнический колледж»,

I курс специальности 09.02.04 «Информационные системы (по отраслям)»,

г. Астрахань

Научный руководитель:

, преподаватель ГБОУ АО СПО «АГПК»

2015

Содержание

Введение.. 3 1 Применение производной в математическом анализе.. 4 Правило нахождения экстремума с помощью второй производной. 4 Правило нахождения интервалов выпуклости графика функции и точек перегиба. 5 Вычисление пределов с помощью производной функции. Раскрытие неопределённостей. 9 2 Применение производной функции в алгебре.. 10 Применение производной к доказательству неравенств. 10 Применение производной для упрощения алгебраических и тригонометрических выражений. 10 Применение производной в вопросах существования корней уравнений. 11 3 Применение производной функции в геометрии.. 11 4 Применение производной в физике.. 11 5 Применение производной в экономике.. 11 6 Применение производной в медицине.. 11 7 Применение производной в химии.. 11 8 Применение производной в биологии.. 11 Заключение.. 11 Литература.. 11

Введение

Одним из важнейших понятий математического анализа является производная функции. Производная характеризует скорость изменения функции по отношению к изменению независимой переменной. В данной работе рассмотрена возможность применения производной для решения задач в различных предметных областях. Задачи не совсем обычны как по форме изложения, так и по применяемым методам решения. Это явилось одной из причин выбора темы работы.

Цель работы – составить сборник задач на применение производной.

Решаемые задачи:

1.  Выявление предметных областей применения производной;

2.  Изучение и сбор литературы;

3.  Систематизация полученной информации по областям знаний и формирование банка задач;

4.  Приведение наиболее интересных решений;

5.  Оформление сборника задач.

1 Применение производной в математическом анализе

Среди многих задач, решаемых с помощью производной, наиболее важными являются задачи математического анализа, а именно:

•  вычисление интервалов монотонности и экстремумов функции;

•  нахождение интервалов выпуклости и точек перегиба;

•  вычисление наибольших и наименьших значений функции на отрезке, интервале;

•  вычисление пределов функции, используя правило Лопиталя.

Правило нахождения экстремума с помощью второй производной

Чтобы найти экстремум функции, надо:

1) найти производную данной функции;

2) найти корни уравнения ;

3) найти вторую производную .

4) во вторую производную подставить поочерёдно все критические значения; если при той подстановке вторая производная окажется положительной, то в этой точке функция имеет минимум; если же вторая производная окажется отрицательной, то функция имеет максимум.

Задача Найти экстремумы функции .

Решение:

Задача Исследовать функцию на минимум и максимум.

Решение:

1) Область определения функции D(y)=R.

2) Найдем производную заданной функции

3) Определим критические точки Производная не существует при х2=0. Следовательно, критические точки: 0 и 2/5. Нанесем их на числовую ось и определим знак производной на каждом из полученных промежутков:

Правило нахождения интервалов выпуклости графика функции и точек перегиба

1) найти вторую производную данной функции и точки в которых она равна нулю или не существует;

2) определяют интервалы, на которые область определения функции разбивается найденными точками;

3) определить знак второй производной в каждом, из интервалов; если , то в рассматриваемом интервале кривая выпуклая; если - вогнута;

4) если при этом в двух промежутках, отграниченных исследуемой точкой, знаки второй производной окажутся разными, то имеется точка перегиба, если одинаковыми, то точки перегиба нет.

Задача Определить интервалы вогнутости и выпуклости, а также точки перегиба кривой Гаусса

Решение:

Найдём производные функции, приравняем вторую производную к нулю и найдём критические точки второго рода

Эти точки разбивают числовую ось на три интервала:

Вывод:

1)  функция выпукла при

2)  функция вогнута при .

3)  точки -точки перегиба.

С задачами нахождения экстремума функции связана задача нахождения наибольшего (наименьшего) значения соответствующих функций. Порядок нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутках [ a;b] , (a;b) , (- ∞;+∞)

а) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке [a;b], необходимо:

- найти производную функции;

- найти критические точки функции;

- найти значение функции на концах отрезка и в критических точках, лежащих внутри отрезка;

- из полученных значений выбрать наибольшее и наименьшее.

b) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на промежутке ( a;b) нужно:

- рассмотреть задачу на отрезке [a;b] ( см. а) );

- если наибольшее (наименьшее) значение достигается во внутренней точке отрезка [а;b], то на открытом промежутке (а;b) оно достигается в этой же точке;

если наибольшее(наименьшее) значение достигается на концах отрезка [a;b], то на открытом промежутке (a;b) оно не достигается.

Эту же задачу можно решить, исследовав функцию на промежутке (а; b) на экстремумы, взяв наибольший максимум в качестве наибольшего значения функции, а наименьший минимум - в качестве наименьшего значения функции на (а;b).

c) Для нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на бесконечных промежутках (-∞;+∞), (-∞;b), (а;+∞) нужно:

- исследовать функцию на экстремумы на данном промежутке;

- найти предел функции при ;

- из полученных экстремумов функции выбрать наибольший максимум и наименьший минимум и сравнить их с найденными пределами функции на бесконечности.

Задача Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке [1; e].

Решение:

1) найдём производную функции

2) найдём критические точки функции , отмечаем, что точка не принадлежит отрезку [1; e].

3) найдём значение функции на концах отрезка и в критических точках, лежащих внутри отрезка:

,

4) из полученных значений выберем наибольшее и наименьшее:

,

Производная функции широко применяется для исследования функций и построения графиков.

Задача Исследовать функцию и построить её график.