Производная функции и ее практическое применение (стр. 4 )

Задача. Функция издержек имеет вид , а доход при производстве х единиц товара определяется следующим образом:

Определить оптимальное для производителя значение выпуска х0.

Решение:

Прибыль Р(х) = D(x) - С(х), где D(x) — доход от производства х единиц продукта.

Функция прибыли имеет вид:

Найдем производную функции прибыли:

Очевидно, Р'(х)> 0 при х < 100, так что наибольшее значение прибыли на отрезке [0; 100] есть Р (100) = 399 900. Найдем теперь наибольшее значение прибыли на интервале (100; + ∞). Имеется одна критическая точка х=200. При этом Р'(х) > 0 при 100 < x < 200 и Р'(х) < 0 при x > 200, т. е. х=200— максимальное значение Р(х) на интервале (100; + ∞).

Р (200) = 419 900 > Р (100), таким образом, xопт = 200 (ед.).

Задача. Цементный завод производит Х т. цемента в день. По договору он должен ежедневно поставлять строительной фирме не менее 20 т. цемента. Производственные мощности завода таковы, что выпуск цемента не может превышать 90 т. в день.

Определить, при каком объеме производства удельные затраты будут наибольшими (наименьшими), если функция затрат имеет вид:

К=-х3+98х2+200х. Удельные затраты составят К/х=-х2+98х+200

Решение:

Задача сводится к отысканию наибольшего и наименьшего значения функции

у= - х2+98х+200. На промежутке [20;90].

Вывод: x=49 - критическая точка функции. Вычисляем значение функции на концах промежутках и в критической точке.

f(20)=1760 f(49)=2601 f(90)=320.

Таким образом, при выпуске 49 тонн цемента в день удельные издержки максимальны, это экономически не выгодно, а при выпуске 90 тонн в день минимально, следовательно можно посоветовать работать заводу на предельной мощности и находить возможности усовершенствовать технологию, так как дальше будет действовать закон убывающей доходности. И без реконструкции нельзя будет увеличить выпуск продукции.

6 Применение производной в медицине

Применение дифференциального исчисления в медицине сводится к вычислению скорости. Например, скорости восстановительных реакций и скорости релаксационного процесса.

Реакция организма на введенное лекарство может выражаться в повышении кровяного давления, изменении температуры тела, изменении пульса или других физиологических показателей. Степень реакции зависит от назначенного лекарства, его дозы. С помощью производной можно вычислить, при какой дозе лекарства реакция организма максимальна. С помощью второй производной можно определить условия, при которых скорость процесса наиболее чувствительна к каким-либо воздействиям

Задача Предположим, что х обозначает дозу назначенного лекарства, у - функция степени реакции. у=f(x)=x²(a-x), где а - некоторая положительная постоянная. При каком значении х реакция максимальна?

Решение:

.Значит . Тогда при . В этой точке . Значит - тот уровень дозы, который дает максимальную реакцию.

Точки перегиба важны в биохимии, так как они определяют условия, при которых некоторая величина, например скорость процесса, наиболее (или наименее) чувствительна к каким-либо воздействиям.

Задача. В результате значительной потери крови содержание железа в крови уменьшилось на 210 мг. Недостаток железа вследствие его восстановления с течением времени t уменьшается по закону мг(t – сутки). Найти зависимость скорости восстановления железа в крови от времени. Вычислить эту скорость в момент t=0 и через 7 суток.

Решение:

Скорость восстановления железа:

Знак «-» указывает на уменьшение недостачи. При скорость восстановления равна 30 мг/сутки. Через 7 суток скорость восстановления равна 11,1 мг/сут:

Релаксационный процесс – это процесс возвращения системы к состоянию устойчивого равновесия, из которого она была выведена. Во многих случаях (особенно при однократном воздействии) этот процесс описывается экспоненциальным уравнением , где – постоянная времени. Ее физический смысл: - это время, в течение которого начальное отклонение уменьшается в e раз (т. е. в 2,7 раза). В нашей задаче постоянная времени – 7 суток.

7 Применение производной в химии

Скорость химической реакции – один из решающих факторов, который нужно учитывать во многих областях научно-производственной деятельности. Например, инженерам-технологам при определении эффективности химических производств, химикам, разрабатывающим препараты для медицины и сельского хозяйства, а также врачам и агрономам, использующим эти препараты для лечения людей и для внесения их в почву. Одни реакции проходят практически мгновенно, другие идут очень медленно. В реальной жизни для решения производственных задач, в медицинской, сельскохозяйственной и химической промышленности важно знать скорости реакций химических веществ.

Пусть дана функция m=m(t),где m-количество некоторого вещества, вступившего в химическую реакцию в момент времени t. Приращению времени Δt будет соответствовать приращение Δm величины m. Отношение Δm/Δt- есть средняя скорость химической реакции за промежуток времени Δt. Предел этого отношения при стремлении Δt к нулю - есть скорость химической реакции в данный момент времени.

Задача. Зависимость между массой х вещества, получаемого в результате некоторой химической реакции и временем t выражается уравнением Определите скорость химической реакции в момент времени t.

Решение:

Надо найти производную от х по времени t

Задача. Концентрация раствора изменяется с течением времени по закону: . Найти скорость растворения.

Решение:

Скорость растворение вычислим с помощью производной:

8 Применение производной в биологии

Биологический смысл производной заключается в том, что по известной зависимости численности популяции можно определить относительный прирост особей.

Пусть зависимость между числом особей популяции микроорганизмов у и временем t её размножения задана уравнением: у=p(t). Пусть Δt-промежуток времени от некоторого начального значения t до t+Δt. Тогда у+Δу=p(t+Δt)- новое значение численности популяции, соответствующее моменту t+Δt, а Δy+p(t+Δt)-p(t)-изменение числа особей организмов.

Задача Рост числа клеток популяции описывается уравнением: . Получите формулу для скорости роста численности популяции.

Решение:

Задача. Зависимость суточного удоя y в литрах от возраста коров х в годах определяется уравнением , где х>2. Найдите возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.

Решение:

Беря во внимание, что х>2, находим знаки производной на интервалах

(лет)- точка максимума, возраст дойных коров, при котором суточный удой будет наибольшим.

Заключение

В данной работе рассмотрено одно из важнейших понятий математического анализа - производная функции с точки зрения её практического применения. С помощью производной можно решать самые разнообразные задачи, относящиеся к любой области человеческой деятельности. В частности, с помощью производных возможно подробное исследование функций, более точное построение их графиков, решение уравнений и неравенств, доказательство тождеств и неравенств, нахождение наибольших и наименьших значений величин.

По всем вышеперечисленным областям применения производной подобрано и сведено в сборник около двухсот задач. Каждый раздел сборника начинается с краткого изложения теоретических основ, содержит типовые задачи с решениями и наборы упражнений для самостоятельного решения. Эти задачи расширяют кругозор и повышают интерес к производной. Они могут быть интересны и полезны студентам, увлекающимся математикой.

Литература

1.  Богомолов задач по математике: учеб пособие для ссузов. – М.: Дрофа, 2005.

2.  Богомолов : учеб. для ссузов / , – М.: Дрофа, 2010.

3.  Богомолов . Дидактические задания: учеб. пособие для ссузов / , – М.: Дрофа, 2005.

4.  Истомина : вопросы и ответы: учеб. пособие для вузов. – Ростов н/Д: Феникс, 2002.

5.  Лисичкин : учеб. пособие для техникумов / , - М.:Высш. шк.,1991.

6.  Никольский математического анализа: учеб. пособие для студ. ссузов.- М.: Дрофа, 2012.

7.  Омельченко : учеб. пособие для ссузов. – Ростов н/Д: Феникс, 2007.

8.  Филимонова : учеб. пособие для ссузов. – Ростов н/Д: Феникс, 2013.