Производная функции и ее практическое применение (стр. 3 )

Найдём :

Таким образом, функция =

Применение производной в вопросах существования корней уравнений

С помощью производной можно определить сколько решений имеет уравнение. Основную роль здесь играют исследование функций на монотонность, нахождение её экстремальных значений. Кроме того, используется свойство монотонных функций:

Если функция возрастает или убывает на некотором промежутке, то на этом промежутке уравнение имеет не более одного корня.

Задача Сколько корней имеет уравнение ?

Решение:

Область определения данного уравнения - промежуток определим на этом промежутке функцию , положив

Тогда, на

Þ ,

и таким образом функция - возрастающая, так что данное уравнение (1) не может иметь более одного решения.

3 Применение производной функции в геометрии

При решении геометрических задач на вычисление площадей, сечений фигур, на вычисление объёмов вписанных фигур тоже можно использовать производную функции. При этом в основном используют правило нахождения наибольшего и наименьшего значения функции на отрезке.

Задача Площадь поверхности прямоугольного параллелепипеда равна 104, а площадь одной из его граней в 3 раза больше площади другой грани. Найти наименьшее значение суммы длин всех ребер этого параллелепипеда.

Решение:

Пусть измерения параллелепипеда будут х, у, z . Тогда площадь поверхности параллелепипеда будет 2(ху + хz +уz). Пусть площадь грани АВСD в 3 раза больше площади грани АВВА . По условию имеем: 2(ху + хz + yz) = 104, xy = 3xz. Сумма длин всех ребер будет 4(х +у + z). Из равенства ху = 3хz следует, что у = 3z. Тогда 3хz + xz + 3z² = 52 или и сумма длин ребер принимает вид Рассмотрим функцию По условию х > 0, y > 0, z > 0, a тогда 52 – 3z² >0 и Найдем наименьшее значение функции f( x) на промежутке На этом промежутке f (z) непрерывна и дифференцируема. Критические точки: , . Так как промежуток открытый, то исследуем функцию f(z) на экстремумы, применив достаточное условие минимума функции.

В точке z = 2 функция f(x) непрерывна и при переходе через эту точку производная её меняет знак с «-» на «+», следовательно это точка минимума, а так как на промежутке функция имеет единственный минимум, то наименьшее значение функции на этом промежутке достигается в той же точке. В качестве функции мы брали сумму длин ребер параллелепипеда, значит наименьшее значение длин всех ребер параллелепипеда будет

Ответ: 52.

4 Применение производной в физике

Разнообразно применение производной функции в физике.

Физический смысл производной заключается в следующем: производная функции y = f(x) в точке x0 - это скорость изменения функции f (х) в точке x0 .

Производная применяется в физике для нахождения скорости по известной функции координаты от времени, ускорения по известной функции скорости от времени.

u(t) = x'(t) - скорость,

a(t) = n'(t) - ускорение, или a(t) = x"(t).

Если известен закон движения материальной точки по окружности, то можно найти угловую скорость и угловое ускорение при вращательном движении:

φ = φ(t) - изменение угла от времени,

ω = φ'(t) - угловая скорость,

ε = ω'(t) - угловое ускорение, или ε = φ"(t).

Если известен закон распределения массы неоднородного стержня, то можно найти линейную плотность неоднородного стержня:

m = m(х) - масса,

x Î [0; l], l - длина стержня,

р = m'(х) - линейная плотность.

Задача. Частица пролетает расстояние l равномерно, а затем тормозит с ускорением a. При какой скорости частицы время движения от вылета до остановки будет наименьшим?

Решение:

= const =0

В

А

l

Очевидно, что полное время t движения частицы складывается из времени равномерного движения , где v – искомая скорость, и времени торможения t2=v/a;

, где v > 0.

t'(v) = 0 при v2 – la = 0, откуда

Задача. Расход горючего легкового автомобиля (литр на 100 км) в зависимости от скорости х км/ч при движении на четвертой передачи приблизительно описывается функцией f(x)=0,0017х2-0,18х+10,2; х>30. При какой скорости расход горючего будет наименьший? Найдите этот расход.

Решение:

Исследуем расход горючего с помощью производной: . Тогда при х ≈ 53. Определим знак второй производной в критической точке: , следовательно, расход горючего при скорости 53 км/ч будет наименьшим, .

5 Применение производной в экономике

Дифференциальное исчисление - широко применяемый для экономического анализа математический аппарат. Базовой задачей экономического анализа является изучение связей экономических величин, записанных в виде функций. В каком направлении изменится доход государства при увеличении налогов или при введении импортных пошлин? Увеличится или уменьшится выручка фирмы при повышении цены на ее продукцию? В какой пропорции дополнительное оборудование может заменить выбывающих работников? Для решения подобных задач должны быть построены функции связи входящих в них переменных, которые затем изучаются с помощью методов дифференциального исчисления. В экономике очень часто требуется найти наилучшее или оптимальное значение показателя: наивысшую производительность труда, максимальную прибыль, максимальный выпуск, минимальные издержки и т. д. Каждый показатель представляет собой функцию от одного или нескольких аргументов. Таким образом, нахождение оптимального значения показателя сводится к нахождению экстремума функции.