Логика (стр. 8 )

Отрицание. В естественном языке ему соответ­ствует выражение “Неверно, что...”. Отрицание обычно обозначается знаком “-”, стоящим перед буквой, представляющей некоторое суждение: “-а” читается “Неверно, что а”. Пример: “Неверно, что Земля - шар”.

Следует обратить внимание на одно тонкое обсто­ятельство. Выше мы говорили о простых отрицатель­ных суждениях. Как их отличить от сложных суждений с отрицанием? Логика различает два вида отрица­ния — внутреннее и внешнее. Когда отрицание стоит внутри простого суждения перед связкой “есть”, то в этом случае мы имеем дело с простым отрицатель­ным суждением, например: “Земля не шар”. Если же отрицание внешним образом присоединяется к суж­дению, например: “Неверно, что Земля - шар”, то та­кое отрицание рассматривается как логическая связка, преобразующая простое суждение в сложное.

Конъюнкция. В естественном языке этой связке соответствуют союзы “и”, “а”, “но”, “однако” и т. п. Чаще всего конъюнкция обозначается значком “&”. Сейчас этот значок часто встречается в названиях различных фирм и предприятий. Суждение с такой связкой называется конъюнктивным, или просто конъюнкцией, и выглядит следующим образом:

а & Ь. Пример: “В корзине у деда лежали подбере­зовики и маслята”. Это сложное суждение пред­ставляет собой конъюнкцию двух простых сужде­ний: -“В корзине у деда лежали подберезовики” и “В корзине у деда лежали маслята”.

Дизъюнкция. В естественном языке этой связке соответствует союз “или”. Обычно она обозначается знаком “v”. Суждение с такой связкой называется дизъюнктивным, или просто дизъюнкцией, и выгля­дит следующим образом: а v Ь.

Союз “или” в естественном языке употребляется в двух разных смыслах: нестрогое “или” - когда члены дизъюнкции не исключают друг друга, т. е. могут быть одновременно истинными, и строгое “или” (часто заменяется парой союзов “либо..., ли­бо...”) - когда члены дизъюнкции исключают друг друга. В соответствии с этим различают и два вида дизъюнкции - строгую и нестрогую.

Импликация. В естественном языке ей соответ­ствует союз “если... то”. Она обозначается знаком “—>”. Суждение с такой связкой называется импликативным, или просто импликацией, и выглядит следующим образом: а —> Ь. Пример: “Если по про­воднику проходит электрический ток, то проводник нагревается”. Первый член импликации называется антецедентом, или основанием; второй - консеквентом, или следствием. В повседневном языке со­юз “если... то” обычно соединяет предложения, ко­торые выражают причинно-следственную связь яв­лений, причем первое предложение фиксирует причину, а второе - следствие. Отсюда и названия членов импликации.

Представление высказываний естественного языка в символическом виде с помощью ука­занных выше обозначений означает их форма­лизацию, которая во многих случаях оказывает­ся полезной. 4) Прекрасный остров лежал в теплом океане. И все бы хорошо, да повадились на этом острове ус­траиваться на жительство чужестранцы. Едут и едут со всех концов света, уж коренных жителей стеснять стали. Дабы воспрепятствовать нашествию чужест­ранцев, правитель острова издал указ: “Всякий при­езжий, желающий поселиться на нашем благосло­венном острове, обязан высказать какое-нибудь суждение. Если суждение окажется истинным, чу­жестранца следует расстрелять; если же суждение окажется ложным, его следует повесить”. Боишь­ся — тогда молчи и поворачивай восвояси!

Спрашивается: какое нужно высказать сужде­ние, чтобы остаться в живых и все-таки поселиться на острове?

ТАБЛИЦЫ ИСТИННОСТИ

Теперь мы подошли к очень важному и трудному вопросу. Сложное суждение - это тоже мысль, ко­торая что-то утверждает или отрицает и которая поэтому оказывается истинной или ложной. Во­прос об истинности простых суждений лежит вне сферы логики — на него отвечают конкретные на­уки, повседневная практика или наблюдение. Ис­тинно или ложно суждение “Все киты - млекопи­тающие”? Нужно спросить биолога, и он скажет нам, что это суждение истинно. Истинно или лож­но суждение “Железо тонет в воде”? Нужно обра­титься к практике: бросим в воду какую-нибудь железку и убедимся, что это суждение истинно.

Короче говоря, вопрос об истинности или ложнос­ти простых суждений в итоге всегда решается по­средством обращения к той реальности, к которой они относятся.

Но как установить истинность или ложность сложного суждения? Пусть у нас имеется некоторая конъюнкция “а & Ь” и нам известно, что суждение “а” истинно, а суждение “Ь” ложно. Что можно ска­зать об этом сложном высказывании в целом? Если бы в реальности существовал объект, к которому относится связка “&”, то трудности не возникло бы:

обнаружив этот объект, мы могли бы сказать: “Есть! Конъюнкция истинна!”; обшарив все вокруг и не об­наружив соответствующего объекта, мы бы конста­тировали: “Конъюнкция ложна”. Но дело в том, что логическим связкам - как, впрочем, и союзам есте­ственного языка - в реальности ничего не соответ­ствует! Это изобретенные нами средства связи мыс­лей или предложений, это - орудия мышления, не имеющие аналогов в реальности. Поэтому во­прос об истинности или ложности высказываний с логическими связками - не вопрос конкретных наук или материальной практики, а чисто логичес­кий вопрос. И его решает логика.

Мы договариваемся или принимаем соглаше­ния относительно того, когда высказывания с той или иной логической связкой считать истинными, а когда — ложными. Конечно, в основе этих согла­шений лежат некоторые рациональные соображе­ния, однако важно иметь в виду, что это - наши произвольные соглашения, принятые в целях удобства, простоты, плодотворности, но не навязанные нам реальностью. Поэтому мы вольны из­менять эти соглашения и делаем это, когда счита­ем нужным.

Соглашения, о которых идет речь, выражаются таблицами истинности для логических связок, по­казывающими, в каких случаях высказывание с той или иной связкой считается истинным, а в каких - ложным. При этом мы опираемся на истинность или ложность простых суждений, яв­ляющихся компонентами сложного суждения. “Истина” (“и”) и “ложь” (“л”) называются “ис­тинностными значениями” суждения: если пере­менная представляет истинное суждение, она принимает значение “истина”; если же - ложное, она принимает значение “ложь”. Каждая пере­менная может представлять как истину, так и ложь.

Отрицание применяется к одному суждению. Это суждение может быть истинным или ложным, поэтому таблица для отрицания выглядит следую­щим образом:

А	-А
и	л
л	и

Если исходное суждение истинно, то его отри­цание мы договариваемся считать ложным; если же исходное суждение ложно, то его отрицание мы считаем истинным. Кажется, такое соглаше­ние соответствует нашей интуиции. Действитель­но, суждение “Байрон был английским поэтом” истинно, поэтому его отрицание “Неверно, что Байрон был английским поэтом” естественно счи­тать ложным. Суждение “Афины находятся в Ита­лии” ложно, поэтому его отрицание “Неверно, что Афины находятся в Италии” естественно счи­тать истинным.

Таблицы истинности для остальных логических связок мы для удобства приводим все вместе:

	а	Ь	а&Ь	a v b	а -> b
1	и	и	и	и	и
2	и	л	л	и	л
3	л	и	л	и	и
4	л	л	л	л	и

Все приведенные здесь связки соединяют два суждения. Для двух суждений имеется четыре воз­можности: оба могут быть истинными; одно истинно, другое - ложно; одно ложно, другое - истинно; оба ложны. Все эти возможности учтены как случаи 1—4.

Конъюнкция истинна только в одном случае - когда оба ее члена истинны. Во всех остальных слу­чаях мы считаем ее ложной. В общем, это кажется довольно естественным. Допустим, вы говорите своему избраннику: “Я выйду за тебя замуж и буду тебе верна”. Вы действительно вышли замуж за это­го человека и храните ему верность. Он доволен: вы его не обманули, конъюнкция в целом истинна. Вто­рой случай: вы вышли замуж, но не храните верно­сти своему мужу. Он негодует, считает, что вы его обманули, - конъюнкция ложна. Третий случай: вы не вышли замуж за того, кому обещали, хотя и хра­ните ему верность, лелея воспоминания о первой и, увы, единственной любви. Опять-таки он в расстро­енных чувствах: вы его обманули - конъюнкция ложна. Наконец, четвертый вариант: вы и замуж за него не вышли и, естественно, верности ему не хра­ните. Ваш поклонник в бешенстве: вы его нагло об­манули - конъюнкция ложна.

Аналогичные соображения оправдывают и табли­цу истинности для дизъюнкции. Несколько сложнее обстоит дело с импликацией. Рассмотрим суждение “Если солнце взошло, на улице стало светло”. Здесь импликация соединяет два простых суждения “Солн­це взошло” и “На улице стало светло”. Когда оба они истинны, то импликацию в целом мы считаем истин­ной. Теперь второй случай: солнце взошло, но на ули­це светло не стало. Если такое вдруг произошло, мы сочтем нашу импликацию ложной: видимо, чего-то мы не учли, когда формулировали такую связь между двумя суждениями. Третий случай: солнце не взошло, но на улице стало светло. Опровергнет ли это нашу импликацию? Отнюдь нет, такое вполне возможно:

на улице зажглись фонари, стало светло, но это не противоречит связи между восходом солнца и наступ­лением светлого времени суток. Импликацию можно считать истинной. Наконец, четвертый случай: солнце не взошло и светло не стало. Это вполне естественно, наша импликация остается истинной.

Поясняя таблицы истинности для логических свя­зок, мы старались показать, что эти таблицы в какой-то мере соответствуют нашей языковой интуиции, на­шему пониманию смысла союзов естественного язы­ка. Однако не следует переоценивать степень такого соответствия. Союзь естественного языка гораздо бо­гаче и тоньше по смысловому содержанию, нежели логические связки. Последние схватывают лишь ту часть этого содержания, которая относится к соотно­шениям истинности или ложности простых высказы­ваний. Более тонких смысловых связей логические связки не учитывают. Поэтому иногда возможно до­вольно большое расхождение между логическими связками и союзами естественного языка. С помощью этих связок создают программы для компьютеров, и теперь вы можете понять, какую часть нашего мыш­ления способен усвоить и использовать компьютер.