Рабочая программа дисциплины Б3.В.3. Алгебра

МИНОБРНАУКИ РОССИИ

Федеральное государственное бюджетное образовательное учреждение высшего профессионального образования

«Нижегородский государственный педагогический университет

имени Козьмы Минина»

Факультет естественных, математических и компьютерных наук

Кафедра математики и математического образования

УТВЕРЖДАЮ

Проректор по учебно-методической деятельности

__________

«__» _______20____г.

РАБОЧАЯ ПРОГРАММА ДИСЦИПЛИНЫ

Б3.В.3. АЛГЕБРА

Направление подготовки: 050100.62(44.03.05) «Педагогическое образование»

Профиль подготовки: Математика и информатика

Квалификация (степень) выпускника: Бакалавр

Форма обучения: очная, 5 лет

Н. Новгород

2014 г.

Рабочая программа составлена на основе:

1.  Федерального государственного образовательного стандарта высшего профессионального образования по направлению 050100 «Педагогическое образование», утвержденного «17» января 2011 г., №46

2.  Учебного плана по направлению 050100.62 (44.03.05) «Педагогическое образование», профилю подготовки «Математика и информатика», утвержденного «26» апреля 2012г.

Рабочая программа по дисциплине «Алгебра» принята на заседании кафедры «Математики и математического образования», протокол № 2 от «30» сентября 2014г.

Разработчики: доцент

профессор

доцент

СОГЛАСОВАНО

Зав. кафедрой математики и математического образования

_________________//

«____»_______________20__г.

СОГЛАСОВАНО

Директор библиотеки

_________________/ /

«____»_______________20__г.

1.  Цели и задачи дисциплины

- Целями освоения дисциплины «Алгебра» являются: формирование систематизированных знаний в области алгебры; обращение алгебраических теорий и практик в инструмент исследования: 1. других разделов математики - прежде всего геометрии; 2. школьных математических текстов.

Задачи дисциплины: освоить базовые элементы алгебры как науки:

- предмет алгебры: основные алгебраические структуры и конструкции, такие как группы, кольца, поля, векторные пространства, системы линейных уравнений числовые системы;

- методы алгебры: выделение типов алгебраических структур, подструктур; методы линейной алгебры, решения систем линейных уравнений, исследования числовых систем;

- теории алгебры: теория векторных пространств; теория групп; теория колец; теория многочленов и алгебраических уравнений;

- праксиология алгебры: обращение алгебраических теорий и практик в инструменты исследования числовых систем, геометрических теорий (пространства, геометрические задачи на построения, пр.), школьных математических текстов (числовые системы, решение уравнений и их систем, пр.)

2. Место дисциплины в структуре ООП ВПО

Цикл, к которому относится дисциплина: профессиональный.

Дисциплины, на которых базируется данная дисциплина: «Введение в математику».

Дисциплины, для которых данная дисциплина является предшествующей: «Геометрия», «Теория чисел», «Числовые системы», «Теория функций комплексного переменного», «Компьютерная алгебра».

3. Требования к результатам освоения дисциплины

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций или их составляющих:

ОК-1 - владением культурой мышления, способностью к обобщению, анализу, восприятию информации, постановке цели и выбору путей её достижения;

ПК-5 - способностью использовать возможности образовательной среды для формирования универсальных видов учебной деятельности и обеспечения качества учебно-воспитательного процесса.

В результате освоения данной дисциплины (модуля) студент должен:

Знать: базовые категории теории векторных пространств, систем линейных уравнений, групп, колец и полей, типы колец; классификацию числовых систем на базе групповых, кольцевых критериев;

Уметь: использовать базовые понятия и основные факты теории векторных пространств, матриц, определителей, систем линейных уравнений, теории групп, колец и теории многочленов при изучении различных разделов математики и в процессе решения конкретных задач, в том числе и задач школьной математики;

Владеть навыками: решения типовых задач теории групп и колец, анализа школьных задач из области натуральных чисел средствами теории групп и колец.

4.  Объем дисциплины и виды учебной работы

Вид учебной работы	Всего зач. ед.	Всего часов	Семестр 1	Семестр 2	Семестр 3
Общая трудоемкость дисциплины	10	360	180	72	108
Аудиторные занятия,	144	72	36	36
(в т. ч. занятия в активной и интерактивной формах)	17	4	4	9
Лекции	72	36	18	18
Практические занятия, Семинары	72	36	18	18
Самостоятельная работа	144	72	36	36
Вид итогового контроля	Экзамен	72	Экза-мен (36)	Зачет	Экза-мен (36)

5. Содержание дисциплины

5.1. Тематический план

Раздел дисциплины	Количество часов	Итого по разделам дисциплины
Лекции	Практические занятия	Самостоятельная работа
Раздел 1.Арифметическое векторное пространство – базовое содержание	12	12	18	42
Раздел 2. Матрицы, определители, системы линейных уравнений –базовое содержание	24	24	36	84
Раздел 3. Основные алгебраические структуры – базовое содержание	10	10	30	50
Раздел 4. Многочлены от одной переменной – базовое содержание	8	8	24	40
Раздел 5. Группы. Кольца – общая теория	12	12	24	48
Раздел 6. Типы колец - базовое содержание	6	6	12	24
Экзамен				72
Итого:	72	72	144	360

5.2. Содержание разделов дисциплины

Раздел 1.Арифметическое векторное пространство.

Определители второго и третьего порядков, правила их вычисления. Методы решения систем двух и трех линейных уравнений. Правило Крамера.

Основные числовые множества. Понятие числового поля. Арифметические векторы, сложение векторов и умножение вектора на число. Арифметическое векторное пространство. Линейно зависимая и линейно независимая системы векторов, их свойства..

Подпространство векторного пространства. Базис и ранг системы векторов. Координаты вектора в данном базисе, их свойства. Скалярное произведение векторов, длина вектора, ортогональные векторы.

Раздел 2. Матрицы, определители, системы линейных уравнений.

Понятие о прямоугольной матрице данного порядка. Транспонирование матрицы. Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц; алгоритм вычисления ранга матрицы.

Квадратные матрицы, их виды. Обратимые матрицы, их свойства. Нахождение обратной матрицы с использованием элементарных преобразований.

Понятие о системе линейных уравнений, её решении. Совместные, несовместные, определённые и неопределённые системы линейных уравнений. Критерии совместности систем. Критерий определенности совместной системы.

Метод Гаусса решения системы линейных уравнений. Однородная система линейных уравнений, нахождение её фундаментальной системы решений.

Подстановка порядка n, нахождение её знака. Понятие об определителе порядка n. Определитель треугольной матрицы.

Свойства определителей. Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы. Разложение определителя по строке. Вычисление обратной матрицы с помощью определителей.

Раздел 3. Основные алгебраические структуры.

Понятие и свойства алгебраической бинарной операции, заданной на множестве. Нейтральный и симметричный элементы, их единственность. Алгебраические структуры с одной бинарной операцией.

Группы и их свойства. Полная линейная группа. Группа классов вычетов по натуральному модулю. Подгруппа. Критерий подгруппы.

Дистрибутивность одной алгебраической операции относительно другой. Кольца и их свойства. Кольцо классов вычетов по натуральному модулю.

Мультипликативная группа кольца. Делители нуля в кольце. Область целостности. Подкольцо.

Поля и их свойства. Поле комплексных чисел. Поле классов вычетов по простому модулю. Подполе. Критерий подполя.

Раздел 4. Многочлены от одной переменной.

Построение кольца многочленов от одной переменной. Деление многочлена на линейный двучлен. Теорема Безу.

Схема Горнера и её приложения. Евклидово деление многочленов, нахождение НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида.

Взаимно простые многочлены. Неприводимые над полем многочлены. Неприводимость многочленов над полем комплексных чисел.

Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. Отделение корней целочисленных многочленов.

Раздел 5. Группы. Кольца.

Группа, подгруппа, их свойства, примеры. Эквивалентности на группе, порождённые подгруппой. Классы смежности, левое и правое разложения группы по подгруппе. Теорема Лагранжа.

Нормальный делитель группы, критерий нормального делителя. Факторгруппы, гомоморфизмы, изоморфизмы групп.

Образ и ядро гомоморфизма групп. Критерий изоморфизма групп.

Кольца, подкольца, простейшие свойства, примеры. Определение идеала кольца, примеры и простейшие свойства идеалов кольца. Главные идеалы.

Факторкольца. Кольцо вычетов целых чисел по натуральному модулю. Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Образ и ядро гомоморфизма, критерий изоморфизма.

Делимость элементов кольца, делимость и главные идеалы. Делители нуля кольца, целостные кольца; характеристика кольца.

Раздел 6. Типы колец.

НОД и НОК элементов целостного кольца. Простые и составные элементы целостного кольца. Факториальные кольца. Каноническая запись элемента факториального кольца. Способы нахождения НОД и НОК элементов факториального кольца.

Кольца главных идеалов. НОД и НОК элементов в кольце главных идеалов. Факториальность кольца главных идеалов.

Евклидовы кольца, примеры и свойства. Евклидово деление, его свойства. Евклидово кольцо как кольцо главных идеалов. Алгоритм Евклида.

5.3. Разделы дисциплины и связь с формируемыми компетенциями

Наименование компетенций	№ разделов дисциплины, участвующих в формировании компетенций
1	2	3	4	5	6
ОК-1	+	+	+	+	+	+
ПК-5	+	+	+	+	+	+

6. Образовательные технологии

6.1. Темы занятий в активной и интерактивной формах

1.Арифметическое векторное пространство. Линейно зависимая и линейно независимая системы векторов, их свойства. – 2 ч.

2.Метод Гаусса решения систем линейных уравнений. Однородная система линейных уравнений, нахождение её фундаментальной системы решений. – 2 ч.

3.Дистрибутивность одной алгебраической операции относительно другой. Кольца и их свойства. Кольцо классов вычетов по натуральному модулю.- 2 ч.

4.Построение кольца многочленов от одной переменной. Деление многочлена на линейный двучлен. Теорема Безу.- 2 ч.

5.Примеры групп; эквивалентности на группе и классы смежности; теорема Лагранжа; факторгруппы. – 3 ч.

6.Примеры колец, числовые кольца; факторкольца; кольцо вычетов целых чисел по натуральному модулю. – 3 ч.

7.НОД и НОК элементов в факториальном кольце; Кольцо целых чисел как кольцо главных идеалов и евклидово кольцо; алгоритм Евклида. – 3 ч.

7. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины

7.1. Основная литература:

1. Курош высшей алгебры. 18 изд. Стереотип. – СПб.: Издательство «Лань», 2011 (2004,1968, 1971, 1975). рекомендовано

0,85

7.2. Дополнительная литература:

1. Винберг алгебры.- М.: Издательство «Факториал Пресс», 2002. – 544 с.

2. Алгебраические структуры с одной и двумя бинарными операциями/ , , . –Н. Новгород: НГПУ, 2005. – 98 с. гриф УМО

7.3. Базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:

www. biblioclub. ru	ЭБС «Университетская библиотека онлайн»
www. elibrary. ru	Научная электронная библиотека
www. ebiblioteka. ru	Универсальные базы данных изданий

8. Материально-техническое обеспечение дисциплины

Учебные аудитории университета с мультимедийным оборудованием.

9. Контроль и оценка результатов освоения дисциплины (модуля)

Контроль и оценка результатов освоения дисциплины осуществляется преподавателем в процессе проведения практических занятий, контрольных работ, тестирования, выполнения обучающимися индивидуальных заданий.

Формируемые компетенции и используемые оценочные средства

Наименование компетенции	Показатель оценки сформированности компетенции	№ разделов дисциплины, участвующих в формировании компетенций
1	2	3	4	5	6
	ОК-1- владеет культурой мышления, способен к обобщению, анализу, к восприятию информации, к постановке цели и выбору путей её достижения
	Знает: Базовые понятия и классы основных задач теории арифметических векторных пространств, матриц, определителей, систем линейных уравнений, основных алгебраических структур, теории многочленов от одной переменной, классических теорий групп и колец. Умеет: Применять классические алгебраические методы в решении основных типов задач, в том числе и задач, отражающих вопросы школьного курса математики. Владеет: Методами доказательств теорем, решения задач, математической версией анализа и синтеза оценки изучаемых алгебраических фактов.	Выполнение типовых заданий в аудиторных и домашних работах; Выполнение проверочных работ, в том числе и тестовых.	Выполнение типовых заданий в аудиторных и домашних работах; Выполнение проверочных работ, в том числе и тестовых.	Выполнение типовых заданий в аудиторных и домашних работах; Выполнение проверочных работ, в том числе и тестовых.	Выполнение типовых заданий в аудиторных и домашних работах; Выполнение проверочных работ, в том числе и тестовых.	Выполнение типовых заданий в аудиторных и домашних работах; Выполнение проверочных работ, в том числе и тестовых.	Выполнение типовых заданий в аудиторных и домашних работах; Выполнение проверочных работ, в том числе и тестовых.
	ПК-5 способность использовать возможности образовательной среды для формирования универсальных видов учебной деятельности и обеспечения качества учебно - воспитательного процесса;
	Знает: Структуру содержания изучаемого материала (элементы, связи, ограничения). Умеет: Работать с математическими текстами по алгебре, включать в математически – алгебраический контекст задачи и проблемы контекста школьной математики. Владеет: Инструментами приложения теории и результатов изучаемого алгебраического контекста к объектам школьных математических текстов.	Выполнение индивидуальных заданий с элементами творческого исследования, включающих материал школьного курса математики.	Выполнение индивидуальных заданий с элементами творческого исследования, включающих материал школьного курса математики.	Выполнение индивидуальных заданий с элементами творческого исследования, включающих материал школьного курса математики.	Выполнение индивидуальных заданий с элементами творческого исследования, включающих материал школьного курса математики.	Выполнение индивидуальных заданий с элементами творческого исследования, включающих материал школьного курса математики.	Выполнение индивидуальных заданий с элементами творческого исследования, включающих материал школьного курса математики.

Контрольные вопросы к экзамену (семестр 1)

1.Определители второго и третьего порядков, правила их вычисления. Методы решения систем двух и трех линейных уравнений. Правило Крамера.

2.Основные числовые множества. Понятие числового поля. Арифметические векторы, сложение векторов и умножение вектора на число. 3.Арифметическое векторное пространство. Линейно зависимая и линейно независимая системы векторов, их свойства.

6.Понятие о прямоугольной матрице данного порядка. Транспонирование матрицы. 7.Ранг матрицы. Элементарные преобразования матриц. 8.Алгоритм вычисления ранга матрицы.

9.Квадратные матрицы, их виды. Обратимые матрицы, их свойства. 10.Нахождение обратной матрицы с использованием элементарных преобразований.

11.Понятие о системе линейных уравнений, её решении. Совместные, несовместные, определённые и неопределённые системы линейных уравнений. 12.Критерии совместности систем. Критерий определенности совместной системы.

15.Подстановка порядка n, нахождение её знака. Понятие об определителе порядка n. 16.Определитель треугольной матрицы.

17.Свойства определителей. 18.Миноры и алгебраические дополнения элементов матрицы. Разложение определителя по строке. 19. Вычисление обратной матрицы с помощью определителей.

Контрольные вопросы к экзамену (семестр 2)

1.Понятие и свойства алгебраической бинарной операции, заданной на множестве. Нейтральный и симметричный элементы, их единственность. 2.Алгебраические структуры с одной бинарной операцией.

3.Группы и их свойства. Полная линейная группа. 4.Группа классов вычетов по натуральному модулю. Подгруппа. Критерий подгруппы.

5.Дистрибутивность одной алгебраической операции относительно другой. Кольца и их свойства. 6.Кольцо классов вычетов по натуральному модулю.

7.Мультипликативная группа кольца. Делители нуля в кольце. Область целостности. Подкольцо.

8.Поля и их свойства. Поле комплексных чисел. 9.Поле классов вычетов по простому модулю. Подполе. Критерий подполя.

10.Построение кольца многочленов от одной переменной. Деление многочлена на линейный двучлен. Теорема Безу.

11.Схема Горнера и её приложения. 12.Евклидово деление многочленов, нахождение НОД и НОК многочленов. Алгоритм Евклида.

13.Взаимно простые многочлены. Неприводимые над полем многочлены. 14.Неприводимость многочленов над полем комплексных чисел.

15.Неприводимые над полем действительных чисел многочлены. 16.Отделение корней целочисленных многочленов.

Контрольные вопросы к экзамену (семестр3)

1.Группа, подгруппа, их свойства, примеры. Эквивалентности на группе, порождённые подгруппой. 2.Классы смежности, левое и правое разложения группы по подгруппе. Теорема Лагранжа.

3.Нормальный делитель группы, критерий нормального делителя. Факторгруппы, гомоморфизмы, изоморфизмы групп.

4.Образ и ядро гомоморфизма групп. Критерий изоморфизма групп.

5.Кольца, подкольца, простейшие свойства, примеры. 6.Определение идеала кольца, примеры и простейшие свойства идеалов кольца. Главные идеалы.

7.Факторкольца. Кольцо вычетов целых чисел по натуральному модулю. 8.Гомоморфизмы и изоморфизмы колец. Образ и ядро гомоморфизма, критерий изоморфизма.

9.Делимость элементов кольца, делимость и главные идеалы. 10.Делители нуля кольца, целостные кольца; характеристика кольца.

11.НОД и НОК элементов целостного кольца. Простые и составные элементы целостного кольца. 12.Факториальные кольца. Каноническая запись элемента факториального кольца. Способы нахождения НОД и НОК элементов факториального кольца.

13.Кольца главных идеалов. НОД и НОК элементов в кольце главных идеалов. 14.Факториальность кольца главных идеалов.

15.Евклидовы кольца, примеры и свойства. Евклидово деление, его свойства. 16.Евклидово кольцо как кольцо главных идеалов. Алгоритм Евклида.

Темы курсовых работ по дисциплине «Алгебра»

1.  Основы теории Галуа;

2.  Алгебры;

3. Основы тензорной алгебры. Внешняя алгебра;

4. Строение групп;

5. Элементы теории представлений групп;

6. Теория полей;

7. Идеалы в кольцах многочленов;

8. Groups, Subgroups, Normal subgroups;

9. Determinants;

10.  Rings and Modules;

11.  Field theory;

12.  Квадратичные формы;

13.  Простые и максимальные идеалы;

14.  Операции над идеалами;

15.  Результант и его применение к решению школьных задач;

16.  Теорема Штурма;

17.  Границы действительных корней многочлена.