Парная регрессионная модель (стр. 2 )

Сопоставляя факторную и остаточную дисперсии в расчете на одну степень свободы, получим величину F - отношения (F- критерия):

F-тест – оценивание качества уравнения регрессии состоит в проверке гипотезы Н0 о статистической незначимости уравнения регрессии и показателя тесноты связи. Для этого выполняется сравнение фактического Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Fфакт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

Fфакт =

где п – число единиц по совокупности;

m – параметров при переменных х.

Fтабл - это максимально возможное значение критерия под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α. Уровень значимости α - вероятность отвергнуть правильную гипотезу при условии, что она верна. Обычно α принимается равной 0,05 или 0,01.

Если Fтабл < Fфакт, то Н0 - гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик отклоняется и признается статистическая значимость и надежность. Если Fтабл > Fфакт , то гипотеза Н0 не отклоняется и признается статистическая незначимость, ненадежность уравнения регрессии.

Из приложения 1 видно, что табличное значение F– критерия при уровне значимости 0,05 составляет:

Поскольку Fфакт > Fтабл то гипотезу Н0 о случайной природе оцениваемых характеристик следует отклонить и признать уравнение статистически значимым и надежным.

Величина F-критерия связана с коэффициентом детерминации:

Результаты дисперсионного анализа приведены в таблице:

Источники вариации	Число степеней свободы, df	Сумма квадратов отклоне-ний, SS	Диспер-сия на одну степень свободы, D	F- отношение
фактическое	таблич-ное
Общая Факторная Остаточная	n-1=9 m=1 n-2=8	27640 27391,24 248,76	- 27391,24 31,095	- 880,89 -	- 5,32 -

Для оценки статистической значимости коэффициентов регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза H0 о случайной природе показателей, т. е. о незначимом их отличии от нуля. Оценка значимости коэффициентов регрессии и корреляции с помощью t–критерия Стьюдента проводится путем сопоставления их значений с величиной случайной ошибки:

Случайные ошибки параметров линейной регрессии и коэффициента корреляции определяются по формулам:

Рассчитаем значения t- критерия Стьюдента:

Сравнивая фактическое и критическое (табличное) значения t-статистики, принимаем и отвергаем гипотезу H0. Если tтабл < tфакт то H0 отклоняется, т. е. a, b и rxy не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием систематически действующего фактора х. Если tтабл > tфакт, то гипотеза H0 не отклоняется и признается случайная природа формирования a, b и rxy.

Из приложения 2 видно, что табличное значение t-критерия Стьюдента при уровне значимости 0,05 равно 2,306. Сравним фактические значения t–критерия с табличным значением.

Гипотеза H0 о случайной природе формирования параметра а принимается и признается статистическая незначимость данного параметра. А параметр в и линейный коэффициент корреляции не случайно отличаются от нуля и сформировались под влиянием действующего фактора х, гипотеза H0 отклоняется и признается их статистическая значимость.

Связь между F- критерием Фишера и t–статистикой Стьюдента выражается равенством:

Для расчета доверительных интервалов определяются предельные ошибки для каждого показателя:

Доверительные интервалы рассчитываются следующим образом:

;

;

Анализ верхней и нижней границ доверительных интервалов приводит к выводу о том, что в вероятностью параметры а и в, находясь в указанных границах, не принимают нулевых значений, т. е. не являются статистически незначимыми и существенно отличны от нуля.

Раздел 2. Решение регрессионных моделей с помощью ППП Excel

1. Встроенная статистическая функция ЛИНЕЙН определяет параметры линейной регрессии у=а+вх. Порядок вычисления следующий:

1)  введите исходные данные или откройте существующий файл, содержащий анализируемые данные;

2)  выделите область пустых ячеек 5х2 (5 строк, 2столбца) для вывода результатов регрессионной статистики или область 1х2 – для получения только оценок коэффициентов регрессии;

3)  активизируйте Мастер функций (в главном меню выберите Вставка/Функция);

4)  в окне Категория (рис. 1) выберите Статистические, а в окне Функция – ЛИНЕЙН. Щелкните по кнопке ОК.

Рис 1.1 Диалоговое окно «Мастер функций»

5)  заполните аргументы функции (рис. 2):

Известные значения у – диапазон, содержащий данные результативного признака;

Известные значения х – диапазон, содержащий данные факторов независимого признака;

Константа – логическое значение, которое указывает на наличие или отсутствие

Рис 2. Диалоговое окно ввода аргументов функции ЛИНЕЙН

свободного члена в уравнении; если Константа=1, то свободный член рассчитывается обычным образом, если Константа=0, то свободный член равен 0.

Статистика - логическое значение, которое указывает, выводить дополнительную информацию по регрессионному анализу или нет. Если Статистика=1, то дополнительная информация выводится, если Статистика=0, то выводятся только оценки параметров уравнения. Щелкните по кнопке ОК.

6)  в левой верхней ячейке выделенной области появится первый элемент итоговой таблицы. Чтобы раскрыть всю таблицу необходимо нажать на клавишу <F2>, а затем – на комбинацию клавиш <CTRL>+<SHIFT>+<ENTER>.

Дополнительная регрессионная статистика будет выводиться в порядке, указанном в следующей схеме:

Значение коэффициента в	Значение коэффициента а
Среднеквадратическое отклонение в	Среднеквадратическое отклонение а
Коэффициент детерминации R2	Среднеквадратическое отклонение у
F-статистика	Число степеней свободы df
Регрессионная сумма квадратов	Остаточная сумма квадратов

2. С помощью инструмента анализа данных Регрессия, кроме результатов регрессионной статистики, дисперсионного анализа и доверительных интервалов, можно получить остатки и графики подбора линии регрессии.

Порядок вычислений следующий:

1)  проверьте доступ к пакету анализа. В главном меню последовательно выберите Сервис/Надстройки. Установите флажок Пакет анализа (рис. 3);

2)  в главном меню выберите Сервис/Анализ данных /Регрессии. Щелкните по кнопке ОК;