Время жизни неравновесных носителей заряда в полупроводниках (стр. 4 )

Dn(x) = g0a t((aL2 + st)exp(-x/L)/(L+ st)- exp(-ax))/( a2L2 - 1) (27)

В этом случае концентрация на поверхности зависит от скорости поверхностной рекомбинации:

Dn(0) = g0a tL/(( L+ st)(aL + 1)) = g0 tL/(( L+ st)(L + 1/a)) (28)

На кафедре для моделирования процессов фотопроводимости была создана программа для решения (10) в общем случае численными методами (материалы готовятся к публикации). Далее приведены рисунки, полученные с помощью указанной программы.

На рис. 6 представлены распределения ННЗ. для пластины толщиной 2мм и 0,6мм с L= 600 мкм и 1/a = 300 мкм и нескольких скоростей поверхностной рекомбинации. Типичное для шлифованных непассивированных поверхностей МК значение S=1000см/с уменьшает концентрацию на поверхности в два раза и заметно снижает общую концентрацию ННЗ в обеих пластинах.

Уравнение (20) является основой для расчетов диффузионной длины и дальнейшего пересчета ВЖННЗ по методу поверхностной фотоэдс. Из (20) следует, что если определить зависимость 1/Dn(0) от 1/a при условии постоянства всех остальных параметров и в толстых образцах, то экстраполяция этой зависимости к нулевому значению 1/Dn(0) даст величину 1/a = - L. Это обстоятельство и положено в основу определения диффузионной длины в методе поверхностной эдс. При этом формально скорость поверхностной рекомбинации не будет влиять на расчеты L. Однако, поскольку в эксперименте определяется величина напряжения, пропорциональная Dn(0) , большая скорость поверхностной рекомбинации уменьшает полезный сигнал и может сделать измерения невозможными. Поэтому обработка поверхности для уменьшения s чаще всего бывает также необходима. Кроме того, необходимо выполнять условие d>> L, в противном случае зависимость 1/Dn(0) от 1/a не будет линейной и экстраполяция не будет возможной. Это приводит к существенным затруднениям при измерении образцов с временами жизни больше 200 мкс. В табл. 2приведены величины диффузионных длин и соответствующих им минимальных толщин образцов для электронного и дырочного МК, необходимых для проведения измерений методом ПФЭДС.

Табл 2. Диффузионная длина Lд = Ö (Dt). Dp = 12 cm2 /с ; Dn = 36 cm2 /с и предельные толщины образцов Lмин = 4 Lд для метода ПФЭДС

t, мкс	1	10	50	100	200	500
Lnд, мкм	63	200	447	632	894	1410
Lpд, мкм	35	110	245	346	490	775
L(p-Si)мин, мм	0,252	0,8	1,8	2,5	3,6	5,6
L(n-Si)мин, мм	0,14	0,44	1	1,3	2	3,1

Для определения величины стационарной фотопроводимости необходимо проинтегрировать распределение н. н.з. по всей толщине образца. При этом очевидно, что в общем случае величина фотопроводимости (добавка к величине стационарной проводимости) будет зависеть от геометрических размеров образца и скорости поверхностной рекомбинации

3.2. Зависимость эффективного времени жизни н. н.з. от объемного времени жизни и скорости поверхностной рекомбинации.

Рассмотрим, как будет изменяться во времени интегральная величина избыточной концентрации ННЗ после выключения засветки. В простейшем случае – при однородной по объему генерации и отсутствии поверхностной рекомбинации – (7) Dn(t) = Dn0 exp(-t/t)

Условие однородности генерации: d<< 1/a для засветки любой длительности и d<<L – для длительной подсветки (t>3t). Технически реализуемые и позволяющие получить детектируемые величины сигналов ФП коэффициенты поглощения 1/a » 100 – 300 мкм, поэтому даже для пластин это условие практически не выполняется и необходимо учитывать неоднородность генерации ННЗ по глубине образца. Поверхностная рекомбинация также может заметно изменить кинетику спада сигнала ФП. Для анализа такого рода процессов необходимо решение уравнения непрерывности (10) с граничными условиями типа (16). Такое решение, впервые изложенное в [10], использовалось для анализа кинетики фотопроводимости и заложено в качестве основы в стандарт [3] в части оценки вклада поверхностной рекомбинации, затем анализировалось для случая засветки d-импульсом тонких пластин [11], что и было заложено в качестве основы в стандарт [4] по бесконтактному СВЧ методу.

Пусть имеется однородный полупроводниковый образец в виде прямоугольного параллелепипеда, ограниченный плоскостями х=±а, у=±b, z=±w. Полупроводник имеет электропроводность p-типа, поэтому диффузия носителей заряда определяется диффузией электронов. Кроме того, центры прилипания отсутствуют, а уровень возбуждения низкий. Уравнение непрерывности имеет вид

(29)

Предположим, что в уравнении (29) напряженность электрического поля равна нулю. При любом начальном распределении неравновесных носителей заряда и граничных условиях, заданных на поверхностях образца значениями скорости поверхностной рекомбинации, общее решение уравнения (29) записывается в виде линейной комбинации собственных функций. Решая уравнение (29) методом разделения переменных, т. е. считая Dn=(x, y, z, t)= Dn(x) Dn(y) Dn(z) Dn(t), получим

Dn=(x, y, z, t)=G cos (Ax)cos(By)cos(Cz)*exp(-t(1/tn+Dn(A2+B2+C2))) (30)

Для нахождения коэффициентов А, В,С следует воспользоваться граничными условиями на поверхностях образца:

при х=±а (31)

при х=±b

при х=±z

Соотношения (31) приводят к трансцендентным уравнениям, которые определяют набор возможных значений Ai, Bj, Ck. Введя обозначения Aiа=xi, Bjb=hj, Ckw=zk, произведем суммирование и найдем общее решение уравнения (30):

(32)

где (33)

Dnijk - та часть избыточной концентрации носителей заряда, которая описывается данной собственной функцией с амплитудой Gijk. Коэффициенты Gijk вычисляют по начальному условию, т. е. по распределению носителей заряда в образце при t=0. Т. о. мы получили важный вывод: при наличии поверхностной рекомбинации спад фотопроводимости будет определяться суммой нескольких экспонент, т. е. мгновенное время жизни будет меняться даже при низком уровне инжекции.

Конкретный вид кривой спада будет определяться первоначальным распределением концентрации ННЗ. Зависимость Dnijk от времени t содержит две экспоненциальные составляющие: exp (-t/tn), связанную с рекомбинацией носителей заряда в объеме образца, и exp(-vijkt), связанную с поверхностной рекомбинацией.

Учет граничных условий (32) позволяет получить следующие соотношения, связывающие величины xi, hj, zk и s:

(34)

Как показывает анализ, трансцендентные уравнения, которые определяют значения xi, hj, zk имеют первое решение в интервале 0-p/2, второе решение – в интервале p - 1,5p и т. д., причем x1=h1=z1=0 при s=0 и x1=h1=z1=p/2 при s®¥. Таким образом, основная гармоника Dn111 соответствует наименьшим собственным значениям x1, h1, z1 и характеризуется эффективным временен жизни

(35)

где v111 = Dn(x12/a2+ h12/b2+z12/w2) определяется поверхностной рекомбинацией и представляет собой наименьшее значение из всех возможных vijk.

По мере восстановления термодинамического равновесия основная гармоника спада v111 начинает преобладать над остальными гармониками, так как она характеризуется наибольшей постоянной времени. Интервал времени, по истечении которого величина становится достаточно близкой к , зависит от соотношения амплитуд гармоник Gijk. В самом простом случае дельта-образного импульса света и однородного начального распределения носителей заряда в начале спада основная гармоника описывает релаксацию около двух третей избыточной концентрации носителей заряда при s ®¥.

Значительно сложнее проанализировать спад фотопроводимости, когда генерация носителей заряда происходит в течение некоторого времени, так как начальное распределение носителей заряда не является однородным. Если же генерация происходит с постоянной скоростью в течение длительного времени, то в образце устанавливается стационарное распределение носителей заряда и задача упрощается.

Относительное влияние поверхностной рекомбинации на постоянную времени тем меньше, чем больше геометрические размеры образца и чем ниже скорость поверхностной рекомбинации на его свободных поверхностях.

Проанализируем частные случаи, для которых величина n111 выражается более простыми формулами. Если принять, что скорость поверхностной рекомбинации бесконечно велика на гранях х=±а, что обычно реализуется на границе с омическим контактом, и равна нулю на других плоскостях, то

(36)

Очевидно, что формулу (35) можно использовать для вычисления объемного времени жизни, если эффективное время жизни 1/tэф=1/tn+v111 известно из измерений:

(37)

Такая же возможность возникает и в том случае, когда на всех поверхностях скорость рекомбинации очень велика

(38)

Если воздействию импульса света подвергается часть образца, расположенная на таком расстоянии от контактов, когда они не оказывают влияния на процессы рекомбинации, то

(39)

Для образца в виде тонкой пластины различие между обьемным и эффективным временем жизни, т. е. разность 1/tn – 1/tэф зависит в основном от толщины пластины, поскольку w<<a, b. На рис. 7 и 8 представлены теоретически рассчитанные в соответствии с (37) зависимости минимальной толщины пластины dmin от объемного времени жизни, при которой измеренное значение tэф занижено по сравнению с объемным временем жизни не более чем на 15, 10 и 5% для линий 2, 3 и 4 соответственно в p и n-Si сответственно. Это означает, что для материала p типа при толщине пластины 2 мм поверхностная рекомбинация не будет влиять на результаты измерений для объемного времени, меньшего 10 – 15 мкс (в зависимости от точности измерений.) Используя предельные времена поверхностной рекомбинации, можно оценить верхний предел возможного значения объемного времени жизни. Так, если измеренное эффективное время жизни на той же пластине составило 60 мкс, объемное время жизни может лежать в пределах 60 –130 мкс. Очевидной проверкой в таком случае является зависимость измеренного времени от пассивации поверхности. Способы пассивации предлагаются в [4].

В том случае, когда скорость поверхностной рекомбинации принимает одинаковые малые конечные значения на свободных поверхностях, sb/Dn=h2, sw/Dn=z2 . При этом

1/tэф=1/tn+s(1/b+1/w) (40)

Для тонких пластин (35) b>> w=d/2, поэтому можно оценить время поверхностной рекомбинации как

ts = d/(2S) (41)

На рис.9 представлена область значений S –d, для которой применимы оценки поверхностной рекомбинации по (35,36) (косые штриховые линии).

На рис. 10, 11 и 12 приведены результаты численного расчета эффективного ВЖННЗ методами численного решения уравнения непрерывности. На рис. 10 показана зависимость мгновенного времени жизни для низкого уровня инжекции от времени после выключения импульса, на рис. 11 и 12 - зависимость максимального мгновенного времени от скорости поверхностной рекомбинации наряду с оценками по приближенным формулам для двух толщин образцов.

ЛИТЕРАТУРА

1. ГОСТ 15133-69 Приборы полупроводниковые. Термины и определения.

2. ASTM F391 «Stantard Test Methods for Minority Carrier Diffusion Length in Extrinsic Semiconductors by Measurement of Steady-State Surface Photovoltage»

3. ASTM F28 «Stantard Test Methods for Minority-Carrier Lifetime in Bulk Germanium and Silicon by Measurement of Photoconductivity Decay»

4.   ASTM F1535 «Stantard Test Methods for Carrier Recombination Lifetime in Silicon Wafers by Noncontact Measurement of Photoconductivity Decay by Microwave Reflectance»

5.   D. K.Schroder. «Carier lifetimes in silicon.» IEEE Trans. V44, N1, 1997.

6.   W. R.Runyanan, T. J.Shaffner. «Semiconductor measurements & instrumentation». McGraw-Hill, 1998.

7.   А. Милнс. "Примеси с глубокими уровнями в полупроводниках" Мир, М., 1977

8.   . «Физика полупроводников», М., «Энергия», 1976.

9.   «Методы измерения параметров полупроводниковых материалов», М., «Высшая школа», 1987.

10. ,,Федорович параметров полупроводниковых материалов и структур. - М.:Радио и связь, 1985.

11. , Концевой параметров полупроводниковых материалов. - М.:Металлургия, 1970.