Муниципальное бюджетное
общеобразовательное учреждение
«Школа-лицей № 17»
муниципального образования городской округ Симферополь
Республики Крым
Урок по алгебре и началам математического анализа в 10-м классе.
Автор: учитель математики
МБОУ «Школа – лицей № 17» г. Симферополь
, высшая квалификационная категория
Симферополь, 2015
Тема: Решение тригонометрических уравнений и неравенств
Цель: Усовершенствовать навыки решения тригонометрических уравнений и неравенств, научить решать учащихся тригонометрические уравнения, применять наиболее рациональный метод; использование интернета для повторения; научить учащихся решать неравенства с модулем и параметрами, применяя знания в нестандартных ситуациях; развивать активность, умение общаться, выражать свое мнение и обосновывать его; воспитывать активную жизненную позицию
Ход работы
1.Вступительное слово учителя:
« Математика не только учит мыслить, но и вселяет веру в безграничные силы человеческого ума. Она воспитывает волю, характер» В. Сухомлинский.
Уроки математики, на которых рассматриваются задания такого типа, особенны. Ведь в процессе решения этих задач обогащается математическая культура, повышаются логические и технические возможности, формируются навыки исследовательской деятельности.
Не говори: «Не умею!», а говори «Научусь!». От уверенности чего-то достичь зависит половина успеха.
Класс разбит на группы по 4 человека, в каждой из которой имеется капитан, который контролирует ход решения поставленной задачи всей группы.
Учащиеся сами определяют формулируют тему и цель урока.
2. Через интернет идет повторение материала по группам, по вопросам ( опрос с помощью ИКТ)
Вопросы:
1) Какие уравнения называют равносильными?
2) Сформулируйте определение обратных тригонометрических уравнений.
3) Сформулируйте способы решения тригонометрических уравнений.
4) Сформулируйте способы решения тригонометрических неравенств.
5) Тригонометрические уравнения с параметром.
6) Тригонометрические уравнения с модулем.
3.У учащихся лежат карточки с заданием (в левом столбике – легкие, в правом - сложные). Они выбирают и решают задания по уровню своих знаний (решать можно всей группой, в парах или индивидуально, обращаясь за помощью к капитанам). Время выполнения задания – 20 мин.
Варианты заданий для команд:
1.
1) 2 sin2x + cos4x – 2 =0 2) 3sin2x + sin2x = 2 3) cos3x = cos5x 4) cos23x + sin3x -1 =0 | 1) tg2x + ctg2x + 3tgx + 3ctgx + 4 =0 2)sin3x + 3sin2x = 3sinx 3) (arcsin x)(arcos x) =-π2/9 4) ׀ sinx – 2cosx׀ = sinx |
2. При каких значениях а уравнение sinx +0,5 и (sinx - a/2) ( sinx + 0.5) = 0 равносильны?
3.Решить неравенства:
· tg2x < 3
· ׀sinx + cosx ׀< 1
Далее идет проверка выполнения решения заданий:
1.
1) 2sin2x + cos4x – 2 = 0 Решение 1 – cos2x = 2cos22x -1 -2 = 0 2cos22x – cos2x -2 = 0 cos2x = (1 + √17):4 решений нет cos2x = (1-√17): 4 x= ±0,5 arcos(1-√17): 4 + Пn, nϵZ Ответ: ±0,5 arcos(1-√17): 4 + Пn, nϵZ | 1) tg2x + ctg2x + 3tgx + 3ctgx + 4 =0 Решение tg2x +ctg2x +(tgx +ctgx) + = 0 Пусть tgx +ctgx= t, то t2 -2 +3t+4 = 0 t2 +3t +2 =0 t1=-1 t2= -2 а) tgx +ctgx = -1 tgx +1/tgx +1 =0 tg2x + tgx +1 =0 tgx≠0 решений нет б) tgx +ctgx +2=0 tgx +1/tgx +2 =0 tg2x+ 2tgx +1=0 tgx≠0 tgx=-1 x= - П/4 + Пn, nϵZ Ответ: - П/4 + Пn, nϵZ |
2) 3sin2x + sin2x = 2 Решение 3sin2x+ 2sinxcosx -2sin2x-2cos2x =0 sin2x +2sinxcosx - 2cos2x =0 tg2x +2tgx -2 =0 а)tgx=-1 + √3 x = arctg(-1+√3) + πn, n Z б)tgx= -1-√3 x = arctg(-1 -√3) +πk, k ϵ Z Ответ:x = arctg(-1+√3) + πn, n Z;x = arctg(-1-√3) + πk, k ϵZ | 2) sin3x + 3sin2x = 3sinx Решение 3sinx -4 sin3x + 6 sinxcosx - 3sinx =0 4sin3x -6sinxcosx =0 2sinx(2sin2x -3cosx)=0 a)sinx=0 x= πn, n ϵ Z б)2(1-cos2x)-3cosx=0 2cos2x 3cosx -2=0 cosx=1/2 или cosx=-2 x=+-π/3+2πk, kϵZ решений нет Ответ:+-π/3 +2πk, k ϵZ;πn, nϵ Z |
3) cos3x = cos5x Решение cos3x - cos5x =0 2sin4xsinx=0 а) sin4x=0 4x=πn, n ϵZ x= πn/4,n ϵZ б)sinx =0 x =πk, k ϵZ Ответ:πn/4, n ϵZ; πk, kϵ Z | 3) (arcsin x)(arcos x) =-π2/9 Решение arcsinx(π/2- arccosx) =-π2/9 π/2arcsinx-arcsin2x+π2/9=0 π/2arcsin2x -π/2arcsinx -π2/9=0 Пусть arcsinx=t t2 -π/2t -π2/9=0 18t2-9πt -2π2=0 t1=2π/3-не уд. усл. t2=-π/6 arcsinx=-π/6 x=-1/2 Ответ-1/2 |
4) cos23x + sin3x -1 =0 Решение (1-sin23x)+sin3x-1=0 sin23x-sin3x=0 sin3x(sin3x -1)=0 a)sin3x=0 x=πn/3,nϵ Z б)sin3x=1 3x=π/2+2πm, m ϵZ x=π/6+2πm/3,mϵ Z Ответ:πn/3,n ϵZ;π/6+2πm/3,mϵ Z | 4) ׀ sinx – 2cosx׀ = sinx Решение sinx ≥ 0 sin -2cosx=sinx sinx-2cosx=-sinx sinx ≥ 0 2cosx=0 2sinx-2cosx=0 sinx ≥ 0 x=π/2+πn, n ϵ Z sinx-cosx=0|:sinx sinx ≥ 0 x=π/2+πn, n ϵ Z ctgx=1 sinx ≥ 0 x=π/2+πn, n ϵ Z x=π/4+πk, k ϵ Z
sinx ≥ 0 x=π/2+2πn, n ϵ Z x=π/4+2πk, k ϵ Z Ответ: π/2+2πn, n ϵ Z; π/4+2πk, k ϵ Z |
Все последующие задания выполняются в группах и в дальнейшем решения проверяются с использованием ИКТ
2. При каких значениях а уравнение sinx +0,5=0 и (sinx - a/2) ( sinx + 0.5) = 0
равносильны?
Решение
sinx= - ½
x= (-1)n+1П/6 + Пn, nϵZ x= (-1)n arcsin a/2 +Пk, k ϵZ
решений нет при׀а׀ >2
а ϵ (-∞;-2)ﮟ (2; +∞(
Ответ: при а ϵ (-∞;-2)ﮟ (2; +∞(
3. Решение неравенства
· tg2x < 3
׀tgx׀< √3
-√3< tgx< √3
- П/3+ Пn < x < П/3+ Пn, nϵZ
Ответ: - П/3+ Пn < x < П/3+ Пn, nϵZ
· ׀sinx + cosx ׀< 1
Решение
sin2x + 2sinxcosx +1 < 1
1+ sin2x < 1
sin2x< 0
-П/2+ Пn< x < Пn, nϵZ
Ответ: xϵ(-П/2+ Пn; Пn), nϵZ
Итоги урока:
Опрос (саморефлексия):
1. Что ты сегодня для себя приобрел, решая уравнения и неравенства?
2. Смог ли ты сказать себе: «Я решил сложное задание», «Я научился решать уравнения с модулями и параметрами», «Я смог объяснить своим товарищам решение сложных заданий»?
Домашнее задание:
Индивидуально по карточкам
