Элементы теории функций (стр. 2 )

3. Тематический план

Таблица 3

№	Тема	недели семестра	Виды учебной работы и самостоятельная работа, в час.	Итого часов по теме	Из них в интерактивной форме, в часах	Итого количество баллов
Лекции *	Семинарские (практические) занятия*	Лабораторные занятия*	Самостоятельная работа*
1	2	3	4	5	6	7	8	9	10
Модуль 1. Множества. Мощности множеств
1.1.	Основные понятия теории множеств	1-2	2	2		4	8	2	0-10
1.2.	Счетные множества, их свойства. Множества мощности континуум	3-4	2	2		4	8		0-10
1.3.	Сравнение мощностей. Шкала мощностей.	5-6	2	2		4	8		0-10
	Всего	1-6	6	6		12	24	2	0-30
Модуль 2. Метрическая топология числовой прямой
2.1.	Открытые и замкнутые множества числовой прямой	7-8	2	2		4	8		0-12
2.2.	Теорема Бореля о покрытиях	9	2	2		4	8		0-12
2.3.	Промежутки и их свойства	10-11	2	2		4	8	2	0-11
	Всего	7-11	6	6		12	24	2	0-35
Модуль 3. Мера Лебега. Интеграл Лебега
3.1.	Мера Лебега. Функции измеримые по Лебегу	12-13	2	2		4	8		0-12
3.2.	Интеграл Лебега	14	2	2		4	8		0-12
3.3.	Ряды Фурье в гильбертовых пространствах	15-16	2	2		4	8		0-11
	Всего	12-16	6	6		12	24		0-35
	Итого (часов, баллов):	1-16	18	18		36	72	4	0-100
	Курсовая работа *
	Из них в интеракт. форме		2	2

*- если предусмотрены учебным планом ОП

4. Виды и формы оценочных средств в период текущего контроля

Таблица 4

№ темы	Устный опрос	Письменные работы	Технические формы контроля	Информационные системы и технологии	Итого количество баллов
опрос по теории	выступление на семинаре	аудиторные учебные задания	тест	внеаудиторные домашние учебные задания	Работа с сайтами ОУ, Минобрнауки, поисковыми системами Интернета
Модуль 1. Множества. Мощности множеств
1.1.	6				4			0-10
1.2.	6				4			0-10
1.3.	6				4			0-10
Всего	18				12			0-30
Модуль 2. Метрическая топология числовой прямой
2.1.	7				5			0-12
2.2.	7				5			0-12
2.3.	6				5			0-11
Всего	20				15			0-35
Модуль 3. Мера Лебега. Интеграл Лебега
3.1.	7				5			0-12
3.2.	7				5			0-12
3.3.	6				5			0-11
Всего	20				15			0-35
Итого	58				42			0-100

5. Содержание дисциплины

Модуль 1. Множества. Мощности множеств

Тема 1.1. Основные понятия теории множеств

Интуитивный подход к теории множеств и порождаемые им проблемы. Аксиоматика ZF и GB. Лемма Цорна. Отношение включения и его свойства. Отношение равенства. Операции над множествами и их свойства.

Тема 1.2. Счетные множества, их свойства. Множества мощности континуум

Эквивалентные множества, теорема Кантора-Бернштейна. Факторизация класса объектов категории множеств по отношению эквивалентности. Мощность множества. Счетные множества. Свойства счетных множеств. Несчетность отрезка [0; 1], множества мощности континуум. Конечные и бесконечные множества Свойства континуальных множеств.

Тема 1.3. Сравнение мощностей. Шкала мощностей

Сравнение мощностей. Теорема Кантора о существовании множеств большей мощности. Континуум-гипотеза.

Модуль 2. Метрическая топология числовой прямой

Тема 2.1. Открытые и замкнутые множества числовой прямой

Предельная точка. Замкнутые множества, их свойства. Замыкание, его свойства. Открытые множества, их свойства. Структура открытых и замкнутых множеств. Канторово совершенное множество, дисконтинуум. Теорема отделимости, топологический тип числовой прямой.

Тема 2.2. Теорема Бореля о покрытиях

Покрытия, открытые покрытия. Теорема Бореля о покрытиях и ее важнейшие следствия (о конечном открытом покрытии сегмента, теорема Больцано-Вейерштрасса).

Тема 2.3. Промежутки и их свойства

Промежутки и их основные свойства. Длина промежутков и ее свойства. Внешняя мера множества, ее свойства.

Модуль 3. Мера Лебега. Интеграл Лебега

Тема 3.1. Мера Лебега. Функции измеримые по Лебегу

Измеримые множества и мера Лебега. Условия измеримости множеств. Инвариантность меры. Измеримые функции, их свойства. Операции над измеримыми функциями. Сходимость по мере. Теоремы Лебега и Рисса. Теорема Лузина.

Тема 3.2. Интеграл Лебега

Определение интеграла Лебега от ограниченной функции. Простейшие свойства интеграла Лебега. Предельный переход под знаком интеграла. Сравнение интегралов Римана и Лебега.

Тема 3.3. Ряды Фурье в гильбертовых пространствах

Понятие нормы. Сходимость в среднем. Ортонормальные системы функций и ряд Фурье. Гильбертовы пространства. Пространства l2 и L2.

6. Планы семинарских занятий

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 1

Свойства операций над множествами

1.Знать с доказательством:

- свойства операций над множествами.

2. Знать: определения и подготовиться к ответу на вопросы:

- понятия множества, включения, операций над множествами;

- как доказать равенство А=В?

- свойства операций над множествами;

- определение дополнения множеств;

- доказать принцип двойственности для операций объединения и пересечения;

- доказать, используя строго логическую схему доказательств, что .

3. На занятии решить:

- №4(а, б, в, г) из [2].

- № 000 из [3].

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 2

Отображения. Счетные множества и их свойства

1. Знать с доказательством:

- теоремы 1-8 из §3 лекций;

- теоремы об эквивалентных множествах из §2 (законспектируйте доказательство теоремы на стр. 17‑18 из [1]).

2. Знать свойства эквивалентных и свойства счетных множеств и подготовиться к ответу на вопросы:

- понятие взаимно-однозначного соответствия и эквивалентности двух множеств; свойства эквивалентных множеств;

- является ли взаимно однозначное соответствие функцией? Их способы задания;

- понятие счетности множества, свойства счетных множеств;

- может ли конечное множество быть счетным?

- установите взаимно однозначное соответствие между интервалом (a, b) и интервалом (-∞, +∞) (см. [1]).