Элементы теории функций (стр. 4 )

Вопросы к зачету

1. Множества, операции над множествами и их свойства (свойства двойственности операций объединения и пересечения множеств доказать). Понятие дополнения множеств.

2. Эквивалентные множества, свойства эквивалентных множеств. Доказать, что отношение эквивалентности множеств является отношением эквивалентности.

3. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Критерий счетности множества.

4. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что из любого бесконечного множества можно выделить счетное подмножество.

5. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что бесконечное подмножество счетного множества счетно, следствие из этой теоремы.

6. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что объединение конечного множества и счетного множества счетно.

7. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что объединение конечного числа счетных множеств счетно.

8. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что объединение счетного множества конечных множеств без общих элементов счетно.

9. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Доказать, что объединение счетного множества счетных множеств счетно.

10. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Счетность множества, определяемого n "значками", каждый из которых пробегает счетное множество значений.

11. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Счетность множеств рациональных чисел.

12. Счетные множества и их свойства (обзор вопроса). Счетность множеств алгебраических чисел.

13. Доказать, что если к бесконечному множеству добавить конечное или счетное, то это не изменит его мощности.

14. Доказать, что если из бесконечного несчетного множества удалить конечное или счетное, то это не изменит его мощности.

15. Доказать, что любое бесконечное множество содержит эквивалентную правильную часть. Положительное определение бесконечности. Несчетность сегмента [0; 1] (доказать).

16. Множества мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Доказать, что объединение конечного числа множеств мощности с есть множество мощности с.

17. Множество мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Доказать, объединение счетного семейства множеств мощности с есть множество мощности с.

18. Множество мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Доказать, что любой промежуток , где , имеет мощность с.

19. Множество мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Доказать, что множество вещественных чисел имеет мощность с.

20. Множество мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Доказать, что множество иррациональных и множество трансцендентных чисел имеют мощность с.

21. Понятие мощности, сравнение мощностей. Показать n<a и a<c.

22. Множество мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Континуум-гипотеза.

23. Множество мощности континуума, их свойства (обзор вопроса). Теорема Кантора о мощности всех подмножеств множества. Существование высших мощностей.

24. Определение внешней меры. Свойства внешней меры, следующие непосредственно из её определения (обосновать, опираясь на определение точной нижней границы числового множества).

25. Понятие измеримого множества, меры Лебега.

26. Определение измеримой функции. Теорема об эквивалентности понятий измеримости функции и множеств Лебега.

27. Простейшие свойства измеримых функций (обзор вопроса), доказать одно из них.

28. Понятие интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции. Свойства множеств , интегральных сумм Лебега.

29. Свойства интеграла Лебега от ограниченной измеримой функции (обзор вопроса) . Доказать теорему о среднем значении интеграла Лебега; следствие из этой теоремы.

30. Сравнение интегралов Римана и Лебега.

31. Понятие функций и ; понятие интеграла Лебега от произвольной измеримой функции. Суммируемые функции.

32. Понятие функции, суммируемой с квадратом, класса , нормы в , нулевого элемента в , сходимости в .

10.4. Методические материалы, определяющие процедуры оценивания знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующих этапы формирования компетенций

Формой промежуточной аттестации является зачет.

Шкала перевода рейтинговой оценки в традиционную оценку:

- от 0 до 60 баллов – "не зачтено";

- от 61 до 100 баллов – "зачтено".

Студенты, набравшие по дисциплине менее 35 баллов, к зачету не допускаются. Студенты, не допущенные к сдаче зачета, сдают текущие формы контроля в соответствии с установленным графиком и набирают пороговое значение баллов. Если в период проведения текущей аттестации студент набрал 61 балл и более, то он автоматически получает зачет. Студентам, не набравшим в семестре необходимого количества баллов по уважительной причине (болезнь, участие в соревнованиях, стажировка и др.), устанавливаются индивидуальные сроки сдачи зачета.

11. Образовательные технологии

При изучении дисциплины используются следующие технологии обучения: проблемное обучение (обучение через инсайт); технология работы в группах; технология уровневого подхода (аудиторные занятия).

12. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины (модуля).

12.1 Основная литература:

1.  Гусельников, в теорию функций действительного переменного [Текст]. Ч.1. Множества: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. вузов/ . - Ишим: Изд-во ИГПИ им. , 2010. - 156 с. – 21 экз.

2.  Гусельников, в теорию функций действительного переменного [Текст]. Ч.2. Мера и интеграл Лебега: учеб. пособие для физ.-мат. фак. пед. вузов/ . - Ишим: Изд-во ИГПИ им. , 2011. - 236 с. – 50 экз.

3.  Натансон, функций вещественной переменной [Текст]: учеб. пособие для вузов / . – Изд.4-е, стер. – М.: Лидер-М, 2008. – 480 с. – 50 экз.

12.2 Дополнительная литература:

1.  Далингер, главы математического анализа в задачах [Текст] :учеб. пособие / ; . - Омск: Амфора, 2010. - 126 с. – 2 экз.

2.  Липчинский, А. Г.  Сборник задач по математическому анализу [Текст]: введение в анализ / . - Ишим: Изд-во ИГПИ им. , 2009. - 196 с. – 2 экз.

3.  Математический анализ [Текст] :учеб. пособие для бакалавров / [и др.] ; под общ. ред. . - М.: Юрайт, 2012. - 607 с. – 2 экз.

12.3 Интернет-ресурсы:

№	Наименование электронно-библиотечной системы (ЭБС)	Принадлежность	Адрес сайта	Наименование организации-владельца, реквизиты договора на использование
1.	Электронно-библиотечная система «Университетская библиотека онлайн»	Сторонняя	http://biblioclub. ru	Договор № 1к/00274-16 от 01.01.2001 на период до 30.09.2017
2.	Электронно-библиотечная система Elibrary	Сторонняя	http://elibrary. ru	ООО "РУНЭБ". Договор № SV-27 / 41 -15 от 01.01.2001 на период до 30.01.2016.
3.	Универсальная справочно-информационная полнотекстовая база данных “EastView”	Сторонняя	http://www. / http://ebiblioteka. ru/	ООО "ИВИС". Договор №16/00030-16 от 01.01.2001 на период до 10.03.2017
4.	Электронная библиотека: Библиотека диссертаций	Сторонняя	http://diss. rsl. ru/?lang=ru	ФГБУ «Российская государственная библиотека» Договор № 1к/00059-16 от 01.01.2001 на период до 15.04.2017.

13. Перечень информационных технологий, используемых при осуществлении образовательного процесса по дисциплине (модулю), включая перечень программного обеспечения и информационных справочных систем (при необходимости).

С целью эффективного преподавания и изучения дисциплины преподаватель и студенты должны уверенно работать с поисковыми системами сети Интернет и с пакетом программ Microsoft Office.

14. Технические средства и материально-техническое обеспечение дисциплины (модуля)

Для обеспечения освоения данной дисциплины имеются: учебные и методические пособия; программы; методические журналы и газеты; выход в Интернет, оборудованные аудитории; технические средства обучения (компьютеры, мультимедиа-проектор, программное обеспечение).

15. Методические указания для обучающихся по освоению дисциплины (модуля)

Методические рекомендации преподавателю:

Дисциплина "Элементы теории функций" представляет собою логически стройное и гармонически связное знание, и знакомство с основными вопросами этой теории, бесспорно, является необходимым элементом математического образования. Она является одной из базовых дисциплин в образовательной программе подготовки учителя математики.

Содержание курса может быть использовано студентами (будущими учителями математики) при проведении занятий в классах с углубленным изучением математики.

На практических занятиях по курсу теории функций действительного переменного должны быть выработаны соответствующие навыки и умения, связанные с решением примеров и задач.

Методические рекомендации студентам:

Студенту следует помнить, что дисциплина "Элементы теории функций" предусматривает обязательное посещение студентом лекций и практических занятий. Она реализуется через систему аудиторных и домашних работ, входных, текущих и итоговых контрольных работ. Самостоятельная работа студентов заключается в выполнении домашних заданий с целью подготовки к практическим занятиям, выполнении вариантов контрольных работ. Результаты самостоятельной работы оформляются в виде отчетов по домашним заданиям и контрольным работам. Итоговый контроль над самостоятельной работой студентов и проверка их знаний проводится в виде собеседования и зачета.

Дополнения и изменения к рабочей программе на 2016/2017 учебный год

В рабочую программу вносятся следующие изменения:

Изменено учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины.

Рабочая программа пересмотрена и одобрена на заседании кафедры, протокол № 1 от 01.01.2001 г.

Заведующий кафедрой_______________________//

О.