Элементы теории функций (стр. 3 )

3. Решить на занятии:

- №№ 28,29,35.40 из [2].

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 3

Отображение множеств. Множества мощности континуума

1. Знать с доказательством :

- теоремы 1 и 2 из §4 лекций;

- все теоремы §5 лекций.

2. Знать определения ( понятия), свойства и уметь отвечать на вопросы:

- свойства счетных множеств ( повторить);

- теорема о бесконечных множествах из §4;

- определение множества мощности континуума, привести примеры;

- можно ли числа отрезка [0,1] записать в виде последовательности?

- свойства множеств мощности континуума ;

- понятие эквивалентной правильной части множества;

- положительное определение бесконечности, связь с философским понятием бесконечности.

3. На занятии предлагается решить примеры:

- № 000 из [3];

- № 48 из [2] и др.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 4

Мощность множеств. Сравнение мощностей

1. Знать с доказательством:

- n<a, a<c,

- теорему о существование высших мощностей.

2. Знать определения ( понятия), свойства и уметь отвечать на вопросы:

- свойства счетных множеств (повторить);

- свойства множеств мощности с (повторить);

- понятие мощности;

- определение о сравнении мощностей;

- континуум-гипотеза и результаты её решения; связь с философией;

- существует ли мощность, большая, чем c? Шкала мощностей.

3. Решить на занятии:

- №№ 62, 63, 89, 109 из [2];

- №№ 000, 2485 из [3].

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 5

Открытые и замкнутые множества

1. Знать с доказательством:

- теорему о структуре открытых множеств;

- теорему о структуре замкнутых множеств.

2. Знать определения, понятия, свойства и уметь отвечать на вопросы:

- определение предельной, изолированной точек; замкнутого множества;

- определение внутренней точки и открытого множества;

- свойства открытых и замкнутых множеств;

- понятие наименьшего сегмента, содержащего в себе замкнутое множество;

- понятие составляющего интервала открытого множества и свойства составляющих интервалов;

- теорема о структуре открытых, замкнутых и совершенных множеств.

3. На занятии решить задачи на доказательство:

- открытости и замкнутости отдельных множеств числовой прямой.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 6

Открытые и замкнутые множества (продолжение)

Необходимо знать с доказательством: весь материал об открытых и замкнутых множествах:

- лекции: гл. 2;

- или: гл. 2 "Точечные множества", §1- §4 из [1].

На занятиях и дома решить:

- №№ 000, 2499, 2500, 2512, 2513 из [3], и др.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 7-8

Внешняя мера. Мера Лебега и ее свойства

1. Знать с доказательством:

-свойства внешней меры, вытекающие из ее определения;

- теорему 1 и её следствия, теорему 2 из §4 лекций;

- теоремы 1, 2, 3, 4 и лемму 1 из §5 лекций;

2. Знать все определения, понятия, свойства и уметь отвечать на вопросы:

- определение точной нижней границы числового множества на "языке ɛ‑δ";

- определение внешней меры;

- сформулировать свойства внешней меры;

- определение измеримого множества, меры Лебега;

- всякое ли множество Е имеет внешнюю меру, меру Лебега?

- сформулируете свойства меры Лебега.

3. Всем студентом быть подготовленным к доказательству теорем у доски.

ПРАКТИЧЕСКОЕ ЗАНЯТИЕ № 9

Измеримые функции

1.Знать с доказательством:

- теоремы 1, 7, 8 из §1 лекций.

2. Знать все определения, понятия, свойства и уметь отвечать на вопросы:

- определения множеств вида E(f>a), E(f<a), E(f≥a), E(f≤a), E(f=a);

- определение множеств Лебега;

- определение измеримой функции;

- сформулировать свойства измеримых функций;

- если f(x) измерима на E, то будет ли измеримой на E функция f2(x)?

- теорема об измеримости предельной функции;

- понятие "почти везде";

- что значит выражение: "f(x) почти везде непрерывна на Е";

- сформулируйте свойства эквивалентных функций.

3. Всем студентам подготовиться к доказательству теорем 1, 7, 8 из §1 лекций у доски.

7. Темы лабораторных работ (Лабораторный практикум)

Лабораторные занятия не предусмотрены учебным планом.

8. Примерная тематика курсовых работ (если они предусмотрены учебным планом ОП).

Курсовые работы не предусмотрены учебным планом.

9. Учебно-методическое обеспечение и планирование самостоятельной работы студентов

Таблица 5

№	Модули и темы	Виды СРС	Неделя семестра	Объем часов	Кол-во баллов
обязательные	дополнительные
Модуль 1. Множества. Мощности множеств
1.1.	Основные понятия теории множеств	Лекции, практика, домашние задания		1-2	8	0-10
1.2.	Счетные множества, их свойства. Множества мощности континуум	Лекции, практика, домашние задания	Конспектирование	3-4	8	0-10
1.3.	Сравнение мощностей. Шкала мощностей	Лекции, практика, домашние задания	Конспектирование	5-6	8	0-10
	Всего			1-6	24	0-30
Модуль 2. Метрическая топология числовой прямой
2.1.	Открытые и замкнутые множества числовой прямой	Лекции, практика, домашние задания	Повторение топологии	7-8	8	0-12
2.2.	Теорема Бореля о покрытиях	Лекции, практика, домашние задания		9	8	0-12
2.3.	Промежутки и их свойства	Лекции, практика, домашние задания		10-11	8	0-11
	Всего			7-11	24	0-35
Модуль 3. Мера Лебега. Интеграл Лебега
3.1.	Мера Лебега. Функции измеримые по Лебегу	Лекции, практика, домашние задания	Конспектирование	12-13	8	0-12
3.2.	Интеграл Лебега	Лекции, практика, домашние задания		14	8	0-12
3.3.	Ряды Фурье в гильбертовых пространствах	Лекции, практика, домашние задания	Повторение теории рядов	15-16	8	0-11
	Всего			12-16	24	0-35
	Итого			1-16	72	0-100

10.Фонд оценочных средств для проведения промежуточной аттестации по итогам освоения дисциплины (модуля).

10.1 Перечень компетенций с указанием этапов их формирования в процессе освоения образовательной программы (выдержка из матрицы компетенций):

Циклы, дисциплины (модули) учебного плана ОП
5 семестр
Индекс компетенции	Элементы теории функций
Общекультурные компетенции	Код компетенции
ПК-10	Тренинг профессионально-личностного роста Основы теоретической физики Математическая логика и теория алгоритмов Дискретная математика Дифференциальные уравнения Алгебра и теория чисел Геометрия Математический анализ История естествознания История науки Организация внеклассной работы по физике в школе Внеклассная работа по предмету в рамках реализации федерального государственного стандарта Методика педагогических исследований по математике Развитие памяти на уроках физики Научные основы школьного курса математики Геофизика и биофизика Физика природных явлений и процессов Теория функций комплексного переменного Элементы теории функций Производственная практика (культурно-просветительская)

10.2 Описание показателей и критериев оценивания компетенций на различных этапах их формирования, описание шкал оценивания:

Таблица 6

Карта критериев оценивания компетенций

Код компетенции	Критерии в соответствии с уровнем освоения ОП	Виды занятий (лекции, семинарские, практические, лабораторные)	Оценочные средства (тесты, творческие работы, проекты и др.)
пороговый (удовл.) 61-75 баллов	базовый (хор.) 76-90 баллов	повышенный (отл.) 91-100 баллов
ПК-10	Знает: основные понятия теории функции действительного переменного	Знает: основные факты (теоремы, свойства) теории функций и функционального анализа	Знает: основные методы теории функции действительного переменного	лекции, практические занятия	ответы на практических занятиях, зачет
Умеет: использовать определения	Умеет: используя определения проводить исследования по основным понятиям	Умеет: точно и лаконично рассказывать или описывать решения задач	лекции, практические занятия	ответы на практических занятиях, зачет
Владеет: основными положениями теории	Владеет: базовыми идеями и методами	Владеет: системой основных структур, аксиоматическим методом, основными понятиями ШКМ	практические занятия	ответы на практических занятиях, зачет

10.3 Типовые контрольные задания или иные материалы, необходимые для оценки знаний, умений, навыков и (или) опыта деятельности, характеризующей этапы формирования компетенций в процессе освоения образовательной программы.