УДК 371.335.5:51+904

МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ МАТЕМАТИКИ

И ИНФОРМАТИКИ С АРХЕОЛОГИЕЙ (расчет сложных сосудов)

Центр международного образования МГУ

имени , г. Москва

Аннотация: выявляются и закрепляются межпредметные связи археологии с математикой и информатикой - на примере исследования и расчета сложных сосудов, найденных археологами Московского университета имени в могильниках Бельбек IV (Юго-Западный Крым) и Первомайский Х (Волго-Донское междуречье), датированных I в. н. э.

Ключевые слова: межпредметные связи, математика, информатика, археология, археологические раскопки, сосуды, форма, объем, приближененные вычисления

Авторитет, полезность для практики, успех в состязании, вера – все эти не всегда совместимые друг с другом ценности математик, приступающий к работе, должен отодвинуть на задний план.

Математика как метафора, с.47

Продолжим исследовать сложные сосуды, найденные археологами из МГУ при археологических раскопках (начало см. в [1], [2]).

1. Рассмотрим кувшин рис. 1а, найденный, как и сосуды пп. 2, 4 [1], п. 1 [2], в могильнике Бельбек IV (см. [3, с. 259, рис. 5,9]). Он датирован второй половиной I в. н. э. Авторы так описывают его форму (с. 244): «тулово кувшина вытянуто в виде банки, несколько сужаясь книзу, горло – широкое, стенки его прямые. D = 4,6 см; d = 7,8 см; H = 19,5 см». Здесь D – внешний диаметр горла в его средней части, d – диаметр подставки, H – высота кувшина.

Возьмем обыкновенную линейку (не обязательно измерительную, так как сейчас мы измерять ничего не будем) и исследуем с ее помощью профиль внутренней части нашего кувшина, приложив ее край к очертаниям боковой части. Нижняя и верхняя части тулова, две верхние узкие части горла имеют прямолинейные очертания - им соответствуют усеченно-конические части кувшина. Основная часть тулова имеет почти прямолинейный профиль, однако и достаточно непрямолинейный для того, чтобы мы сочли необходимым разбить эту часть тулова, например, на четыре равные по высоте части и каждую из них приближенно заменить усеченно-коническим сосудом.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Из рис. 1б видно, что такое приближение достаточно хорошее – если построить отрезки А2А3, А3А4, А4А5, А5А6, то они почти совпадут с соответствующими частями профиля тулова кувшина. Горло в своей основной части, действительно, прямое, т. е. цилиндрическое, однако его нижняя часть (участок профиля А7А8), как и две верхние (участки профиля А9А10, А10А11) имеют усеченно-коническую форму. После проведенного исследования делаем вывод, что рассматриваемый кувшин можно представить составленным из одного цилиндра и девяти усеченных конусов.

Использовав линейку п. 1 [1], без труда измеряем размеры одиннадцати радиусов и десяти высот:

r1 = 3,4 см; r2 = 5,1 см; r3 = 5,7 см; r4 = 5,9 см; r5 = 5,8 см;

r6 = 5,3 см; r7 = 2,5 см; r8 = r9 = 1,9 см; r10 = 2,2 см; r11 = 2,0 см;

h1 = 1,9 см; h2 = h3 = h4 = h5 = |O2O5|/4 = (9,0/4) см = 2,25 см; h6 = 1,5 см;

h7 = 1,6; h8 = 4,0 см; h9 = 0,3 см = 310-1 см; h10 = 0,7 см =710-1 см, (1)

откуда видно, что почти все значения получены с абсолютной точностью до десятых долей единицы (исключение составляют значения высот h2=…=h5) и большинство значений получены с относительной точностью до двух значащих цифр, за исключением значений высот h9 и h10, имеющих одну значащую цифру.

а б

Рис. 1

Воспользовавшись один раз формулой для вычисления объема цилиндра (см. (1) в [1]), девять раз формулой для вычисления объема усеченного конуса (см. (2) [1]) и сложив полученные результаты, получим искомый объем рассматриваемого кувшина:

V = πhi (r + ri ri +1 + r ) + πrh + πh9(r + r9r10+ r ) +

+ πh10(r + r10 r11 + r ). (2)

Чтобы вычислить такое громоздкое выражение, целесообразно воспользоваться компьютером. Поступить можно просто - записать это длинное выражение, предварительно подставив вместо букв их числовые выражения. При этом вычисление можно сделать даже в режиме диалога – в одну строчку. Но это не очень интересно. Интереснее поступить аналогично п. 4 [2], т. е. использовать подпрограмму или функцию пользователя для вычисления объема усеченного конуса. Кроме того, если учесть, что формула для вычисления объема цилиндра получается из формулы для вычисления объема усеченного конуса при условии равенства радиусов его оснований:

πrh = πh8(r + r8r8+ r ) = πh8(r + r8r9+ r ), r8 = r9.

то программа будет отличаться от программ п. 4 [2] только большим количеством обращений к подпрограмме или к функции пользователя – вместо трех раз – десять! Так, программу с подпрограммой можно получить из Программы 4.1 [2], если в ней заменить первые три строки и добавить строки 61 – 67 следующим образом (новые строки выделены жирным шрифтом):

ПРОГРАММА 1.1

10 REM BЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА КУВШИНА

20 PRINT «ВВЕДИТЕ R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9, R10, R11, H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9, H10»

30 INPUT R1, R2, R3, R4, R5, R6, R7, R8, R9, R10, R11, H1, H2, H3, H4, H5, H6, H7, H8, H9, H10

40 H=H1 : X=R1 : Y=R2 : GOSUB 80 : V=W

50 H=H2 : X=R3 : GOSUB 80 : V=V+W

60 H=H3 : Y=R4 : GOSUB 80 : V=V+W

61 H=H4 : X=R5 : GOSUB 80 : V=V+W

62 H=H5 : Y=R6 : GOSUB 80 : V=V+W

63 H=H6 : X=R7 : GOSUB 80 : V=V+W

64 H=H7 : Y=R8 : GOSUB 80 : V=V+W

65 H=H8 : X=R9 : GOSUB 80 : V=V+W

66 H=H9 : Y=R10 : GOSUB 80 : V=V+W

67 H=H10 : X=R11 : GOSUB 80 : V=V+W

70 PRINT «V=»; V; «куб. см» : GOTO 110

80 REM ПОДПРОГРАММА

90 W=3.14H(X^2+XY+Y^2)/3

100 RETURN

110 END

Запустив программу при значениях (1) исходных данных, на экране получаем:

V=1170.861 куб. см (3)

Возникает вопрос: как округлять это значение – ведь точность значений исходных данных, как отмечалось в начале пункта, не одинаковая.

Так как наименьшая относительная точность исходных данных (у h9 и h10) - до одной значащей цифры, то, естественно, округлив значение V до одной значащей цифры или записав это значение в стандартном виде и затем округлив его первый множитель до целых единиц, получаем окончательный ответ:

V ≈ 1,170861 ∙ 103 см3 ≈ 1 ∙ 103 см3 = 1 дм2 = 1 л.

Опыт п. 3 [2] показал, что такой подход к округлению вычисленного значения объема сосуда является достаточно неточным, грубым. Для уточнения результата, по аналогии с п. 3 [2], выделим в Программе 1.1 вычисление суммы объемов первых восьми слоев, а затем двух последних слоев, для которых значения высот h9 и h10, записанные в (1), имеют наименьшую относительную точность. Перепишем строки 65, 66 и 67, добавив печать значений вычисленных объемов, следующим образом:

65 H=H8 : X=R9 : GOSUB 80 : V=V+W : PRINT «V(0-9)=»;V; «куб. см»,

66 H=H9 : Y=R10 : GOSUB 80 : V=V+W : V9=W

67 H=H10 : X=R11 : GOSUB 80 : V=V+W : PRINT «V(9-10)=»;V9+W; «куб. см»

Запустив новый вариант программы, дополнительно получим:

V(0-8)=1157.195 куб. см V(9-10)=13.66633 куб. см

Округлив первое значение до двух значащих цифр, а второе - до одной, приходим к следующему (верные цифры подчеркнуты):

V(0-8) ≈ 00 см3 ; V(9-10) ≈ 0 см3.

Заметим, что оба числа получились, в отличие от примера п. 3 [2], с разной абсолютной точностью: первое число - до сотен, а второе – до десятков, поэтому их сумму мы должны взять с точностью до сотен, так как эта точность меньше, чем точность до десятков.

Таким образом приходим к результату, более точному, чем полученный ранее:

V ≈ V(1-8) + V(9-10) ≈ 00 см3 + 0 см3 ≈ 00 см3 = 1,2 л.

Интересно, что, как видно из только что проведенных выкладок, объем двух последних слоев настолько мал, что при округлении он не повлиял на объем всего кувшина. Эту ситуацию можно охарактеризовать так – объем двух последних слоев находится за пределом точности объема всего кувшина!

Для данной задачи можно составить другую программу, оформив ввод значений радиусов и высот с помощью массивов (см. [4, пп. 4.3, 4.7, 5.2.6]) и с использованием оператора цикла (см. там же, п. 4.7, пример 5):

ПРОГРАММА 1.2

10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА КУВШИНА

20 DIM R(100), H(100)

30 PRINT «ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО СЛОЕВ N»

40 INPUT N

50 F0R K=0 TO N

60 PRINT «ВВЕДИТЕ»; K; «-Й ЭЛЕМЕНТ МАССИВА R»

70 INPUT R(K)

80 NEXT K

90 FOR K=0 TO N-1

100 PRINT «ВВЕДИТЕ»; K; «-Й ЭЛЕМЕНТ МАССИВА H»

110 INPUT H(K)

120 NEXT K

130 V=0 : R0=R(0) : H0 = H(0)

140 FOR I=1 TO N

150 W=3.14H0(R0^2+R0R(I)+R(I)^2)/3

160 V=V+W

170 R0=R(I) : H0=H(I)

180 NEXT I

190 PRINT «V=»; V; «куб. см»

200 END

Заметим, что нумерация элементов массивов для данной программы не совпадает с изначальной нумерацией, используемой в (1) и в Программе 1.1 – каждый номер уменьшился на единицу. Предлагаем читателю запустить эту программу для заданных в (1) значений исходных данных и при этом учесть, что 7-й и 8-й элементы (в нумерации Программы 1.2) массива R равны:

R = {3,4; 5,1; 5,7; 5,9; 5,8; 5,3; 2,5; ; 2.2; 2};

H = {1,9; 2,25; 2,25; 2,25; 2,25; 1,5; 1,6; 4,0; 0,3; 0,7}.

Поэтому при вводе исходных

N = 10,

R(0) = 3.4; R(1) = 5.1; …; R(7) = R(8) = 1.9; R(9) = 2.2; R(10) = 2;

H(0) = 1.9; H(1) = 2.25; …; H(9) = 0.7

Результат рекомендуем сравнить с полученным ранее (3). Затем интересно по аналогии с предыдущей программой переработать эту программу, отделив вычисление двух последних объемов по объясненной выше причине. В отличие от предыдущей программы, здесь переработка более сложная, но и более творческая – можно организовать еще один цикл, состоящий из двух шагов, можно просто дополнительно два раза записать вычисление объема усеченного конуса. При этом, чтобы в программе не фигурировала три раза одна и та же формула, можно использовать функцию пользователя. Вот сколько возможностей! А результаты должны получиться те же самые!

2. Рассмотрим теперь кувшин рис. 1а, найденный, как и котел п. 3 [2], в курганном могильнике Первомайский Х, расположенном на территории Волго-Донского междуречья (см. [5, с. 184, рис. 4,10]) и датированный I в. н. э. Названный авторами статьи «сероглиняным круговым сосудом» (c. 174), кувшин имеет сложную форму, однако, после разбиения на тонкие слои, его можно представить состоящим из усеченных конусов и после этого, воспользовавшись методикой п. 1, вычислить его объем. При этом целесообразно слои сделать одинаковой высоты (толщины).

Последовательность работы следующая:

1)  По масштабу рис. 2а конструируем линейку (рис. 2в);

2)  Измерив этой линейкой высоту кувшина (30,0 см), принимаем решение разделить кувшин на слои толщиной 2,0 см. Таким образом, получаем 15 усеченных конусов (см. рис. 2б). Измерив соответствующие радиусы, составляем массив

R = {4,0; 7,0; 9,0; 10,7; 11,9; 12,4; 12,0; 10,7; 7,8; 5,8; 5,0; 4,9; 4,9; 5,2; 6,0; 7,8},

состоящий из 16 значений радиусов. При таких условиях программа 1.2 преобразуется в следующую:

ПРОГРАММА 2

10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА СЛОЖНОГО СОСУДА

20 DIM R(100)

30 PRINT «ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО СЛОЕВ N И ТОЛЩИНУ СЛОЯ H0»

40 INPUT N, H0

50 F0R K=0 TO N

60 PRINT «ВВЕДИТЕ»; K; «-Й ЭЛЕМЕНТ МАССИВА R»

70 INPUT R(K)

80 NEXT K

90 V=0 : R0=R(0)

100 FOR I=1 TO N

110 W=3.14H0(R0^2+R0R(I)+R(I)^2)/3

120 V=V+W

130 R0=R(I)

140 NEXT I

150 PRINT «V=»; V; «куб. см»

160 END

Рис. 2

Запустив эту программу и введя значение N=15 и массив R, на экране дисплея получаем:

V=6664.545 куб. см

Округлив это значение до двух значащих цифр или записав его в стандартном виде и затем округлив его первый множитель до десятых долей (так как все исходные данные получены именно с такой точностью), получаем окончательный ответ:

V ≈ 6,664545 ∙ 103 см ≈ 6,7 ∙ 103 см3 =6,7 дм3 = 6,7 л.

3. «Теоретические» уточнения. Изучение сосудов из археологических раскопок можно продолжить, например, в направлении «теоретического» уточнения значений некоторых параметров, особенно это относится к радиусу дна – вспомним, почему и как это делалось в п. 4 [2]. Правда, такую процедуру можно проделать, если толщина дна и толщина стенки сосуда одинаковые. В противном же случае, как например, в п. 2 [1], где непосредственные измерения показывают, что толщина дна чаши n = 0,6 см, а толщина стенки m = 0,4 см, уточнение сведется к несколько более сложной геометрической задаче - см. рис. 3, на котором выделена необходимая часть рис. 2 [1] и сделаны дополнительные построения. В отличие от рис. 5г [2], отрезки OE и OF на рис. 3 уже не будут равны. Тогда, решая прямоугольные треугольники ОЕВ и OFB, получаем (обозначим угол EOB через β):

|OB| = , откуда tg β = .

Следовательно,

|EB| = ntg β = .

Измерения на рис. 2 [1] дают для рис. 3:

|AB| = 2,2 см, tg α = , откуда α.= arctg.

Так как r11 = |AB| - |EB|, то с помощью компьютера можем вычислить |EB|, как и в п. 4 [2], в режиме диалога:

PRINT «R11=»; 2.2 – (0.4 – 0.6COS(ATN(3.3/1.3)))/SIN(ATN(3.3/1.3)); «см»

Таким образом получаем:

R11 = 2.006445 см

т. е. r11 ≈ 2 см = r1. Значит, простое «приближенное» измерение было сделано нами достаточно точно – наш натренированный глазомер не подвел.

4. Различные приближения и их сравнительные характеристики. В направлении уточнения объемов сосудов тоже можно еще кое-что сделать. Так, например, в примере п. 1 [1] вблизи дна блюдо не очень похоже на цилиндр, да и на шаровой слой тоже (см. рис. 1а [1]).

Сделаем приближение четырьмя усеченными конусами (по методике п. 1), выделив сначала верхний (почти цилиндр) конус с высотой 2,5 см и разбив нижнюю часть на три равные части с высотами (4,0 – 2,5)/3 = 1,5/3 = =0,50 (см) (см. рис. 4).

Рис. 3 Рис. 4

Последнее число имеет относительную точность до двух значащих цифр, так как получено, как видно из приведенных выкладок, из выражения, элементы которого либо числа, имеющие две значащие цифры (4,0 и 2,5), либо точное число (т. е. 3). В соответствии с этим, измерив соответствующие радиусы, имеем:

r1 = 8,5 см; r2 = 11,7 см; r3 = 12,3 см; r4 = 12,5 см; r5 = 12,6 см;

h1 = h2 = h3 = 0,50 см; h4 = 2,5 см. (4)

Воспользовавшись аналогией с п. 4 [2] или п. 1 настоящей работы и составив соответствующую программу, в лучшем случае просто воспользовавшись Программой 1.2 с N = 4 и массивами

R = {8,5; 11,7; 12,3; 12,5; 12,6} и H = {0,5; 0,5; 0,5; 2,5}, (5)

получаем:

V1 = 1866.383 куб. см

Округлив это значение до двух значащих цифр или записав его в стандартном виде, а затем округлив его первый множитель до десятых долей единицы (так как именно такова точность у всех исходных данных), получаем окончательный ответ:

V ≈ 1,866383 ∙ 103 см3 ≈ 1,9 ∙ 103 см3 = 1,9 дм3 = 1,9 л.

Сравним это значение с вычисленным в п. 1 [1], оценив разницу с помощью абсолютной и относительной погрешностей (последнее значение объема возьмем за более точное, т. е. приближенно за истинное его значение):

= |V1 – V| = 2 – 1,9 = 0,1 (л);

= = ≈ 0,053 ≈ 5 %.

Таким образом, здесь, благодаря приближениям с помощью конусов, мы получили значение объема чаши рис. 1а [1], более точное цилиндрического приближения, описанного в п. 1 [1], на 5%.

А теперь зададим себе вопрос: существенна ли эта разница? Для ответа на этот вопрос вычислим относительную погрешность измерения. Сделаем это следующим образом: абсолютная погрешность наших измерений равна 0,1 см, а полученные в результате измерения значения элементов рассматриваемого блюда (радиусов и высот), которые мы примем за истинные, заключены в интервале между 2,5 см и 12,6 см. Поэтому относительная погрешность измерения для цилиндрического приближения - - заключается между числами 0,1/12,6 и 0,1/4, а относительная погрешность измерения для приближения усеченными конусами - - между числами 0,1/12,6 и 0,1/2,5, т. е.

0,8 < < 2,4 %,0,8 % < < 4 %.

Сравнив эти интервалы с полученным ранее значением относительной погрешности вычисленного значения объема (5 %), заключаем, что последняя больше относительной погрешности измерения. Следовательно, приближение рассматриваемого блюда цилиндром – недостаточно точное, и мы должны отдать предпочтение приближению усеченными конусами.

Завершая решение задач по вычислению объемов различных сосудов, найденных при раскопках, сделаем некоторые выводы. Приведенные примеры достаточно разнообразны и достаточно широко представляют предлагаемую методику, т. е. изучив настоящий материал, можно практически, пусть приближенно, на достаточно достоверно, вычислить объем любого сосуда из использованной литературы [3], [5], [6] - их там, не считая уже изученные сосуды, порядка 75 – от цилиндрических курительниц до сложнейших кувшинов, часто называемых авторами «грушевидными сосудами»! А ведь эти статьи – не единственная литература на эту тему.

Литература

1.  Кузнецова связи математики, черчения и информатики с историей. – В кн.: Проблемы учебного процесса в инновационных школах: Сб. науч. тр. / Под ред. . – Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2008, вып. 13, с. 82 – 92.

2.  Кузнецова связи математики, черчения и информатики с археологией. – В кн.: Проблемы учебного процесса в инновационных школах: Сб. науч. тр. / Под ред. . – Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2009, вып. 14, с. 74 – 84.

3.  Журавлев керамика группы Eastern sigillata B из могильника Бельбек IV в Юго-Западном Крыму. – В кн.: Древности Евразии: Сб. статей. Научное издание / Отв. ред. , . – М.: ГИМ – МГУ им. , 1997, с.227 – 260.

4.  , Кузнецова в информатику. – М.: УРСС, 1997. – 208 с.

5.  , Мамонтов могильник - В кн.: Древности Евразии: Сб. статей. Научное издание / Отв. ред. , . – М.: ГИМ – МГУ им. , 1997, с. 169 – 185.

6.  , , «Круглый курган» из раскопок . - В кн.: Древности Евразии: Сб. статей. Научное издание / Отв. ред. , . – М.: ГИМ – МГУ им. , 1997, с. 186 – 215.

7.  Кузнецова выпускника подготовительного факультета в пространстве предвузовского математического образования. – М.: КомКнига, 2005. – 478 с.