Решения заданий

II тура олимпиады «Математический марафон»

Задача 1. Для украшения новогодней ели у Коли Смекалкина в ящике лежат сто разноцветных шариков: 28 красных, 20 зелёных, 13 жёлтых, 19 синих, 11 белых и 9 чёрных. Какое наименьшее число шариков надо вытащить, не заглядывая в ящик, чтобы среди них заведомо оказалось не менее 15 шариков одного цвета?

Ответ. 76.

Решение. Наихудший вариант: будет вытащено 14 красных, 14 зелёных, 13 жёлтых, 14 синих, 11 белых и 9 чёрных шариков – всего 75 шариков. Следующий шарик обязательно будет 15-м шариком какого-то одного из цветов: либо красным, либо зеленым, либо синим.

Задача 2. Мама Коли Смекалкина решила докупить игрушки для украшения новогодней ели. Она купила снежинки, сосульки и шишки. За всю покупку мама заплатила 167 рублей 85 копеек. Одна снежинка стоит 11 рублей 1 копейку, одна сосулька – 10 рублей 80 копеек, одна шишка – 20 рублей 40 копеек. Сколько игрушек каждого вида купила мама?

Ответ. 5 снежинок, 1 сосулька, 5 шишек.

Решение. 5 копеек в стоимости набора игрушек могут быть только за счёт снежинок. Значит, снежинок 5 или 15, или 25 и т. д. Покажем, что снежинок именно 5. Если снежинок 15, тогда они стоят 165 рублей 15 копеек. Но мама купила и другие игрушки, которые за оставшуюся сумму в 2 рубля 70 копеек не купить. Значит, снежинок именно 5, и стоят они 55 рублей 5 копеек. На сосульки и шишки остаётся 112 рублей 80 копеек. 2 рубля в оставшейся стоимости могут получиться только за счёт копеек. Мы можем получить их либо купив 15 сосулек (или больше, но покажем, что и 15 много), либо 5 шишек (покажем, что больше – много). 15 сосулек будут стоить 162 рубля, это больше оставшихся денег. 5 шишек будут стоить 102 рубля. Как раз денег остаётся на сосульку – 10 рублей 80 копеек.)

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Задача 3. Коля Смекалкин упаковал новогодний подарок в коробку с квадратным основанием. Высота коробки вдвое меньше стороны этого квадрата. Ленточкой длины 156 см можно перевязать коробку и сделать бантик сверху (как на рисунке слева). А чтобы перевязать её с точно таким же бантиком сбоку (как на рисунке справа), нужна ленточка длины 178 см. Найдите размеры коробки.

Ответ. 22см х 22см х 11 см.

Решение. При первом способе завязывания лента охватывает дважды длину, дважды ширину и четыре раза высоту коробки, т. е. её длина равна шести сторонам основания плюс бантик. При втором способе завязывания лента охватывает дважды длину, четырежды ширину и два раза высоту коробки, т. е. её длина равна семи сторонам основания плюс бантик. Теперь понятно, что разница в длинах лент 178 – 156 = 22 см в точности равна стороне основания коробки. Итак, размеры коробки 22см х 22см х 11 см. Проверим: в первом случае на обхватывание коробки уходит 22 х 6 = 132 см, 24 см идёт на бантик. Во втором – 22 х 7 = 154 см и те же 24 см на бантик.

Задача 4. По двум телевизионным каналам одновременно начали показывать одну и ту же «Новогоднюю сказку». На первом канале сказку разбили на части по 20 минут каждая и вставили между ними двухминутные рекламные паузы. А на втором канале фильм разбили на части по 10 минут и вставили между ними минутные рекламные паузы. На каком канале фильм закончится раньше?

Ответ. На первом канале.

Решение. На первом канале между началом каждой части и началом следующей проходит 22 минуты. За это время на втором канале пройдут две части по 10 минут и две рекламные паузы. Следовательно, началу каждой части на первом канале соответствует тот же момент фильма на втором.

Когда на первом канале начнется последняя часть, до конца фильма останется 20 минут, рекламы уже не будет. На втором же канале покажут две части по 10 минут с минутной рекламной паузой, поэтому на первом канале фильм закончится на одну минуту раньше.

Задача 5. На зимние каникулы Коля Смекалкин поехал в гости к бабушке. В среду он сел в поезд и приехал к бабушке в пятницу этой же недели. Коля заметил три факта. В эту пятницу число совпало с номером вагона, в котором он ехал. Номер его места в вагоне был меньше номера вагона. В ту среду, когда он садился в поезд, число было больше номера вагона. Каким был номера вагона?

Ответ. 2.

Решение. Поскольку номер одного и того же вагона в среду был меньше числа, а в пятницу равен ему, то очевидно, что среда и пятница принадлежат разным месяцам. То есть пятница – первое или второе число, а номер вагона– 1 или 2. Но номер вагона не может быть равен 1, поскольку номер места меньше номера вагона. Значит, Коля Смекалкин ехал в вагоне с номером 2. Коля Смекалкин ехал в вагоне с номером 2.

Задача 6. В новогоднем подарке имеются конфеты трёх видов: ириски, карамельки и шоколадные. Известно, что ирисок на 8 меньше, чем всех остальных конфет, а карамелек – на 14 меньше, чем всех остальных конфет. Сколько шоколадных конфет в подарке?

Ответ. 11 шоколадных конфет.

Решение. Способ 1. Так как ирисок на 8 меньше, чем остальных конфет, их на 4 меньше, чем половина конфет. Так как карамелек на 14 меньше, чем всех остальных конфет, их на 7 меньше, чем половина конфет. Таким образом, если выкинуть все ириски и карамельки, то останется 4 + 7 = 11 конфет. А так как оставшиеся конфеты – это как раз шоколадные, их 11.

Способ 2. Пусть ш, к, и – количество шоколадных, карамелек и ирисок.

По условию ш + к = 8 + и,

ш + и = 14 + к.

Складывая эти равенства, получаем: 2ш + к + и = 22 + к + и.

Поэтому 2ш = 22, откуда ш = 11.

Задача 7. Сколько семизначных чисел можно составить из цифр числа 2017?

Ответ. 12288.

Решение. .

Задача 8. В новогоднюю ночь Коля Смекалкин (как большой любитель головоломок) получил в подарок интересные часы, у которых на циферблате не было цифр и вообще, непонятно, где у часов верх; да ещё секундная, минутная и часовая стрелки имели одинаковую длину. Коля очень обрадовался и сразу определил время которое они показывали. Определите и вы, который час они показывают. (Стрелки А и Б на рисунке смотрят ровно на часовые отметки, а стрелка В чуть-чуть не дошла до часовой отметки.)

Ответ. Без десяти пять.

Решение. Если бы часовая стрелка смотрела бы ровно на часовую отметку, минутная и секундная стрелка смотрели бы ровно на отметку «12» – но на картинке нет совпадающих стрелок. Значит, часовая стрелка – стрелка В.

Оставшиеся 2 стрелки указывают ровно на часовые отметки, поэтому сейчас сколько-то часов и целое число минут – в частности, секундная стрелка указывает на 12.

Если секундная стрелка – стрелка А, то на часах немного меньше семи часов (судя по часовой стрелке), а с другой стороны – сейчас на 10 минут больше, чем сколько-то часов (судя по минутной). Так быть не может.

Если же секундная стрелка – стрелка Б, то на часах около пяти часов (судя по стрелке), а судя по минутной стрелке на 10 минут меньше, чем сколько-то часов. Значит, на часах без десяти пять.

Задача 9. На школьной ёлке сорок детей водили хоровод. Из них 22 держали за руку мальчика и 30 держали за руку девочку. Сколько девочек было в хороводе?

Ответ. 24 девочки.

Решение. 22+ 30 =52, значит, 52 – 40 = 12 детей держали за руку и мальчика, и девочку. Значит, 30 – 12 = 18 детей держали за руки только девочек. Эти 18 детей держали девочкиных рук, и ещё 12 держали по одной девочкиной руке, так что всего у девочек было 36 + 12 = 48 рук. Стало быть, девочек было .

Комментарий. Расстановка детей в хороводе, соответствующая условиям задачи, существует, такая, как на рисунке. Возможны и другие расстановки.