Расчет сжатых стержней на устойчивость (стр. 2 )

Под устойчивостью стержня понимают его способность сохранять прямолинейную форму

под действием сжимающей силы. Расчет сжатого стержня на устойчивость заключается в нахождении критической нагрузки. Критической силой называется наименьшее значение сжимающей силы, при котором становится возможной криволинейная форма равновесия. Отношение критической силы Pкр к фактической Р называют коэффициентом запаса устойчивости

kу=Pкр/P .

При центральном сжатии стержня критическая сила и напряжения определяются по формуле Эйлера

Pкр=π2EJmin/( μ*ι)2 ; σкр= Pкр/A =π2E/λ2,

которая справедлива при условии

σкр ≤ σпц ;

λ ≥ λпц = π ,

где

E - модуль упругости материала стержня:

μ- коэффициент приведения длины, зависящий от способа закрепления концов стержня;

ι- длина стержня;

λ- гибкость стержня.

λ= μ*ι/imin ; imin = .

Jmin и imin - минимальный момент инерции и радиус инерции поперечного сечения стержня площадью А.

σпц- предел пропорциональности материала стержня;

λпц - гибкость стержня при σкр = σпц .

Для упруго пластичных материалов при σт ≤ σкр ≤ σпц (λт ≤ λ ≤ λпц ), или для упруго хрупких σпч ≤ σкр ≤ σпц (λпч≤ λ ≤ λпц ) критическую силу и напряжения определяют по формуле

σкр = а – b* λ; Pкр = (а – b* λ)* A.

σт и σпч - пределы текучести и прочности материала, а и b - константы, зависящие от материала стержня.

При выполнении работы принять: для стали а= 310 МПа ; b =1,14 МПа;

для дерева а= 29,3 МПа ; b =0,194 МПа;

Условие устойчивости имеет вид

P≤Pкр / kу ; или σ ≤ σкр / kу = φ*R,

где φ- коэффициент продольного изгиба, зависящий от гибкости стержня и вида материала.

Из условия устойчивости можно рассчитать допускаемую нагрузку: Pдоп = Pкр / kу =φ*R.

Из схемы, зная φ,по размерам (или из сортамента) находят площадь А, минимальный осевой момент инерции Jmin и рассчитывают радиус инерции сечения imin Далее определяют гибкость стержня λ= μ*ι/imin .Потом по гибкости стержня и материалу стойки из таблицы устанавливают коэффициент φ.После этого рассчитывают допускаемую нагрузку.

При выполнении проектного расчета из условия устойчивости подбирают площадь поперечного сечения стержня A при заданной нагрузке P , длине ι,условиях закрепления концов стержня (коэффициент продольного изгиба φ) и расчетном сопротивлении R

A≥ P / φ*R .

Задача решается методом последовательных приближений. Обычно расчет начинают при φ 1=0.5 , Затем из условия A≥ P / φ*R находят A и определяют размеры поперечного сечения. Далее рассчитывают Jmin , imin , λ.. Зная материал и гибкость λ , по таблице находят φ1ʹ .Затем

весь расчет повторяют при φ 2= 0.5(φ 1 + φ1ʹ) и т. д., пока фактическое и расчетное напряжения на устойчивость не будут отличаться не более чем на 5% .

Задание к расчетной работе

1.Используя формулы Эйлера или Ясинского, подобрать размеры поперечного сечения стержня.

Заданными параметрами являются: тип расчетной схемы и его длина ι,материал, форма поперечного сечения, коэффициент запаса устойчивости kу и сжимающая сила P.Схему закрепления концов стержня взять из рисунка 1, форму поперечного сечения, значения E, ι, kу и P- из таблицы 1

.В таблице введены обозначения: Ш - швеллер; Д- двутавр; Пр- прямоугольное сечение с заданным отношением h/b; Кр- сплошное круговое сечение.

2.Определить допускаемую сжимающую силу для стойки.

Заданными величинами являются: длина стойки, способ закрепления, форма сечения, материал и коэффициент запаса устойчивости. Схему закрепления концов стержня, форму поперечного сечения, материал стержня и коэффициентом запаса устойчивости взять

из таблицы 3.

3.Используя коэффициент продольного изгиба φ,найти допускаемую сжимающую силу.

Для схем A, B,C, D (рисунок 1) найти допускаемую сжимающую силу. Форму сечения, материал и расчетное сопротивление взять из таблицы 2.

Таблица к задаче 1

Вари ант	Расчет ная схема	Длина стойки, ι,м	Се че ние	kу	Ма те риал	h/b, для прям. Сечен.	Р, Кн	Вари ант	Расчет ная схема	Длина стой ки, ι,м	Се че ние	kу	Ма те риал	h/b, для прям. Сечен.	Р, Кн
1	D	1,2	Ш	3,0	Ст.		120	16	B	2,6	Пр	3,0	Др.	1,8	195
2	C	1,4	Д	3,2	Ст.		130	17	C	2,7	Д	2,3	Ст.		210
3	B	1,6	Пр	2,1	Др.	1,5	140	18	D	2,65	Ш	2,6	Ст.		180
4	A	1,8	Кр	2.3	Др.		150	19	A	1,0	Ш	2,25	Ст.		170
5	A	2,0	Д	3,2	Ст.		160	20	B	2,6	Д	2,7	Ст.		160
6	С	2,4	Кр	2,5	Др.		170	21	C	2,8	Пр	3,2	Др.	1,6	205
7	A	0,9	Ш	2,0	Ст.		180	22	D	1,5	Кр	3,2	Др.		140
8	B	1,7	Д	2.1	Ст.		190	23	A	0,95	Ш	3,5	Ст.		145
9	C	1,8	Пр	3,2	Др.	2,0	200	24	B	2,25	Д	3,2	Др.		155
10	D	2,1	Кр	2,3	Ст.		185	25	C	2,35	Пр	2,0	Ст.	1,65	160
11	A	0,8	Ш	2,5	Ст.		175	26	D	1,85	Кр	3,0	Ст.		205
12	B	2,5	Д	2,8	Ст.		165	27	A	0,85	Кр	2,2	Ст.		195
13	C	2,8	Пр	3,5	Др.	1,45	155	28	D	2,05	Ш	3,45	Ст.		185
14	D	2.5	Пр	2,2	Ст.	2,4	135	29	C	1,85	Д	3,1	Др.		165
15	A	0,75	Кр	3,4	Др.		115	30	A	1,25	Пр	3,2	Др.	2,0	190

Таблица к задаче 2