Коэффициент продольного изгиба φ находят из таблицы, используя линейную интерполяцию. С увеличением гибкости стержня λ коэффициент продольного изгиба φ уменьшается. Определяют по таблице два значения φ для двух величин λ , между которыми находится расчетное значение λр. Интервал между этими значениями составляет 10 единиц. Находят разность этих величин и делят её на 10, определяя значение φ, приходящее на единицу гибкости λ .Эту разность умножают на величину, равную разности между наибольшим значением

λ н и расчетным λр, Сложив с наименьшим значением φм, находят искомое:

φ= φм +[( φБ - φм )/10]*( λБ - λр)

Примеры решения задач

Задача 1.

Используя формулы Эйлера или Ясинского, подобрать размеры поперечного сечения стержня.

P= 180 МПа : ι =1,5 м ; ky= 3 ;E=104 МПа

Геометрические характеристики сечения выразим через диаметр d:

A =π*d2/4 ; Jmin =π d4/64 ; imin= = d/4 .

Воспользуемся формулой Эйлера:

Pкр=π2EJmin/( μ*ι)2 =P* ky .

Подставляя А , получим:

11,85 см.

Проверим правомочность применения формулы Эйлера:

imin = d/4 = 11,85/4 = 2,9625 см ; λ= μ*ι/imin = 0,5*150/2,9625 = 25,32 < λпц = 70,

следовательно, формулой Эйлера пользоваться нельзя.

Из формулы Ясинского следует

Pкр = P* ky = π *d2/4(a - b λ ); λ= μ*ι /imin =4* μ*ι/d.

После преобразований придем к следующему уравнению:

d2 – 4(b/a)* μ*ι*d – 4* P* ky / a* π =0,

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

где а =29,3 МПа ; b = 0,194 МПа - константы, зависящие от материала стержня.

Подставляя числовые значения, получим:

d2 – 0,0199*d – 0,0235 =0,

Решая это квадратное уравнение, получим

d=0,1636 м = 16,36 см.

Отрицательный корень не соответствует физическому смыслу задачи.

Проверим правомочность применения формулы Ясинского:

λ= μ*ι/imin , imin = d/4, λ=4* μ*ι/d =4*0,5*150/16,36 = 47,17< λпц = 70.

Следовательно, сечение подобрано верно λт =30 ≤ λ =47,17 ≤ λпц =70 )

Задача 2.

Определить допускаемую сжимающую силу Pдоп, которую можно приложить к стойке, изготовленной из прокатного профиля (швеллер № 20),материала стойки - сталь Ст3 модуль упругости – E=2*105 МПа, длина стойки - ι =1.2 м, коэффициентом запаса устойчивости

kу =2.Схема закрепления концов стержня показана на рисунке.

По сортаменту для швеллера №20 находим:

площадь - А=23,4 см, минимальный осевой момент инерции - Jmin = Jy=113 см4 и минимальный радиус инерции сечения - imin =, iy =2,2см2.

Гибкость стержня λ= μ* ι /imin = 2*120/2,2 = 109,09

Так как λ >100= λпц ,то критическая сила подсчитывается по формуле Эйлера

Pкр=π2EJmin/( μ*ι)2 = π2*2*105*106*113*10-8/(2*1,2)2 =386,852*103 н=

=386,852Кн.

Допускаемая сжимающая сила : Pдоп = Pкр / kу =386,852/2=193,426 Кн

Принято: Pдоп =193 Кн

Задача 3

Для схем A, B,C, D (рисунок 1) при R=200 МПа определить допускаемую сжимающую силу для стойки. Материал стойки - сталь, сечение - двутавр №16.Длина стойки - ι = 1,8 м. Использовать коэффициент продольного изгиба (см. таблицу 1).

Допускаемая нагрузка: Pдоп = φ*R*А

Из сортамента для двутавра №16 находим : площадь сечения А=20,2 см2; imin =1,7 см

Определяем гибкость стержней, учитывая различные способы закрепления концов:

а) шарнирно опертый стержень μ=1; λ= μ*ι/imin =1*180/1,7=105,88

б) оба конца жестко заделаны μ=0,5; λ= μ*ι/imin =0,5*180/1,7=52,941

в) один конец шарнирно оперт, а другой защемлен μ=0,7; λ= μ*ι/imin =0,7*180/1,7=74,117

г) один конец защемлен, а другой свободный μ=2; λ= μ*ι/imin =2*180/1,7=211,764

В зависимости от гибкости стержня коэффициент продольного изгиба φ будет меняться:

Схема A.: По таблице 1 находим для λ=100, φ=0,599, а для λ=110, φ=0,537. Используя линейную интерполяцию, находим φ для гибкости λ=105,88:

φ =0,537+[(0,599- 0,537)/10]*(110-105,88)=0,5625

В этом случае Pдоп = φ*R*А= 0,5625*200*106*20,2*10-4=227,25 Кн

Аналогично производится расчет и для других схем.

Схема B.: φ =0,827+[(0,869- 0,827)/10]*(60-52,94)=0,8567

Pдоп = φ*R*А= 0,8567*200*106*20,2*10-4=346,087 Кн

Схема С: φ =0,734+[(0,782- 0,734)/10]*(80-74,117)=0,7622

Pдоп = φ*R*А= 0,7622*200*106*20,2*10-4=307,929 Кн

Схема D.: φ =0,160+[(0,174- 0,160)/10]*(220-211,764)=0,1715

Pдоп = φ*R*А= 0,1715*200*106*20,2*10-4=69,296 Кн

Задача 4

Стальной стержень длиной l=1,5м (материал стержня - сталь Ст.3) сжимается силой Р=100 кН. Требуется:

1)  подобрать размеры поперечного сечения при расчетном сопротивлении R=160 МПа. Условия закрепления стержня показаны на рисунке 1. Сечение стержня - прямоугольник h/b =1.5.

2) Найти критическую силу и коэффициент запаса устойчивости.

Рисунок 1.

Решение.

Коэффициент приведения длины для такой схемы μ=0,7. Потеря устойчивости может произойти в плоскости наименьшей жесткости:

Jy = Jmin =h*b3/12 =3/2*b4/12 =b4/8.

Площадь сечения стойки

A=b*1,5b =1,5*b2

Минимальный радиус инерции сечения стержня

imin= iy= = =b =0,289*b.

Максимальная гибкость стержня

λ=μ*ι/ imin= 0,7*150/0,289*b =363,3/b.

Размер ʺbʺ находят методом последовательных приближений.

Первое приближение.

Принимаем φ=0.5.Находим ʺbʺ. A=1,5*b2=0,7*150/0,289b = P/φR;

b= = =2,041/ =2,887≈2,9см.

В этом случае максимальная жесткость стержня

λ =363,3/2.9=125.3.

По таблице 1 для стали Ст.3 , применяя линейную интерполяцию, находим

φ′1 = 0,40+[(0,45-0,40)/10] *4,7= 0,4235 .

Проверим напряжение в стержне

σ=Р/ φ′1 A = 100*103/0,4235*1,5*2,92*10-4 ≈ 187 МПа > R=160 МПа

. Расхождение составляет

δ = ‌‌ ‌‌‌‌│R – σ │‌/R =[│ 160- 187│/160]*100% = 16,8 %,

Так как δ> 5% , то расчет необходимо продолжить

Второе приближение.

Принимаем

φ2= ( φ1 + φ′1)/2=(0,5 + 0,4245)/2 = 0,4621

Находим ʺbʺ

b=2,041/ = 2,041= 3,002 cм

Гибкость стойки

=363,3/3,002=121

По таблице 1 для стали Ст.3 находим

φ′2 = 0,40+[(0,45-0,40)/10] *(130 -- 121= 0,4450

Напряжение в стержне

σ=Р/ φ′2 A = 100*103/0,4450*1,5*3,0022*10-4 ≈ 166 МПа > R=160 МПа

Расхождение составляет

δ = ‌‌ ‌‌‌‌│R – σ │‌/R =[│ 160- 166│/160]*100 % = 3,75% ,

Так как δ< 5% , то окончательный размер ʺbʺ принимаем

b = 3 см = 30мм

Находим критическую силу и коэффициент запаса устойчивости.

Гибкость стойки

λ=μ*ι/ imin= 363,3/b=363,3/3=121,1>100,

следовательно, критическое напряжение вычисляется по формуле Эйлера.

σкр = π2E/λ2 = π2 *2*105/1212=135 МПа.

Критическая сила в этом случае равна

Pкр= σкр *A =135*1,5*32 *106*10-4=182,25 МПа.

Коэффициент запаса устойчивости

Ку = Pкр /P=182,25/100=1,82

Рекомендуемая литература.

1., , Леонтьев механика/-М., Издательство АСВ,2012-251с.

2.Беляев материалов - М.:Наука,1976.-608 с.

ПРИЛОЖЕНИЕ 1

ПРИЛОЖЕНИЕ 2

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4