Расчет сжатых стержней на устойчивость (стр. 1 )

Кафедра строительной механики

Расчет сжатых стержней

на устойчивость

Методические указания

к расчетно-графической работе

по курсу «Техническая механика»

Воронеж 2012

ВВЕДЕНИЕ

Понятие устойчивости прямолинейного гибкого сжатого стержня в сопротивлении материалов основывают на критерии Эйлера появления наряду с первоначальной прямолинейной формой другой смежной с ней равновесной формы стержня, что называют иногда бифуркацией равновесной формы.

Это означает, что равновесное положение прямого стержня при его сжатии силой будет устойчивым, если получив малое отклонение от этого положения, стержень будет возвращаться к нему. В процессе эксплуатации постоянно возникают условия, приводящие к таким отклонениям (возмущениям первоначальной формы): неоднородность материала, местные повреждения и дефекты, неточность установки опорных устройств или приложения нагрузки, погодные факторы и т. д.

Таким образом, устойчивостью называют способность центрально сжатого стержня сохранять первоначальное равновесное состояние под действием сжимающей силы. Критическая сила – это наименьшая сжимающая сила , при которой стержень теряет устойчивость.

Явление потери устойчивости опасно тем, что оно может произойти в сжатых элементах при нагрузках безопасных с точки зрения прочности.

Возникающая при этом внезапная смена равновесных форм, может привести к разрушению всего сооружения. Многие катастрофы инженерных сооружений произошли из-за потери устойчивости, поэтому расчет на устойчивость сжатых элементов также важен, как и расчет их на прочность и жесткость.

В настоящих методических указаниях рассмотрены расчеты на устойчивость невесомых центрально сжатых прямых стержней постоянного поперечного сечения с различными условиями закрепления (расчетными схемами) в предположении, что материал стержня однородный, а местная потеря устойчивости невозможна.

1.  ОСНОВНЫЕ ПОЛОЖЕНИЯ ТЕОРИИ

Для вычисления применяют различные расчетные формулы в зависимости от величины гибкости стержня

(1)

где – приведенная длина стержня; – его истинная длина; – коэффициент приведения длины, зависящей от способов закрепления концов, т. е., расчетной схемы (рис ); – минимальный главный радиус инерции.

В случае, когда деформации в стержне остаются упругими и предельные напряжения

,

(2)

что имеет место в стержнях с большой гибкостью

,

(3)

используют формулу Эйлера

и ,

(4)

где – модуль упругости материала, минимальный главный момент инерции сечения, – предел пропорциональности, соответствующая ему гибкость.

Для стержней средней жесткости, когда

и

(5) (6)

расчеты ведутся по формуле Ясинского

и

(7)

где предел текучести для упругопластического материала, предел прочности или временное сопротивление упруго хрупкого материала, – соответствующие им гибкости; механические характеристики определяют из уравнений

.

(8)

С учетом коэффициента запаса , принимаемого в расчетах на устойчивость для стержней большой и средней гибкости, условие устойчивости имеет вид

или ,

(9)

где, – действующая сила и напряжение.

Стержни малой гибкости рассчитывают только на прочность, т. е.

,

(10)

где , – нормативное и расчетное сопротивление; - коэффициент надежности по материалу.

Рис.1 Зависимость между критическим напряжением и гибкостью

Согласно [ ] в практических инженерных расчетах обычно объединяют расчеты на устойчивость и прочность в следующей расчетной формуле

или ,

(11)

где - коэффициент устойчивости или коэффициент продольного изгиба, который показывает, как снижается расчетное сопротивление с учетом устойчивости по сравнению с расчетами на прочность, т. е. .

Значение в зависимости от механических свойств материала сведены в таблицы. С учетом дискретности табличных значений обычно получают и откуда искомое значение находят, используя линейную аппроксимацию, т. е.

(12)

Введение

Способность конструкции или её элементов при внешних воздействиях сохранять первоначальную форму упругого равновесия называется устойчивостью. С явлением потери устойчивости приходится считаться в реальных инженерных конструкциях, в которых характер равновесия зависит от действующих нагрузок. При этом потеря устойчивости может произойти при напряжениях, значительно меньших тех, которые допустимы с точки зрения прочности.

Теоретические сведения