Схема Бернулли (стр. 2 )

Равенство (1.6.1) называют формулой Бернулли.►

Упражнения

1.6.2. Для испытаний по схеме Бернулли найти вероятности событий:

а) {не появилось ни одного успеха};

б) {появился хотя бы один успех};

в) {успех появился не менее раз и не более раз}.

1.6.3. Монету подбрасывают 10 раз. Найти вероятность выпадения герба:

а) ровно 5 раз;

б) не более 5 раз;

в) хотя бы один раз.

Пример 1.6.3.

Вероятность выигрыша на один лотерейный билет . Сколько билетов нужно купить, для того, чтобы вероятность хотя бы одного выигрыша была не меньше, чем ?

◄Предположим, что куплено билетов и обозначим число выигрышей через . Используя формулу (1.6.1.), получим:

, откуда . Таким образом, нужно купить не менее 230 билетов.►

Пример 1.6.4.

Найдём рекуррентную формулу для вероятностей и появления ровно и ровно успехов в серии из испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха .

◄С помощью формулы Бернулли (1.6.1) находим: . Итак,

(1.6.2)

- искомая рекуррентная формула.►

Пример 1.6.5.

Пусть - наиболее вероятное число успехов в серии из испытаний по схеме Бернулли с вероятностью успеха . Покажем, что

. (1.6.3)

◄По условию задачи и . Запишем формулу (1.6.2) для и : ,

Запишем формулу (1.6.2) для : . По условию , откуда получаем: или , т. е. . Первое из неравенств (1.6.3) доказано.

Запишем теперь формулу (1.6.2) для : , откуда . По условию , поэтому или , откуда получаем второе неравенство из (1.6.3). ►

Упражнение

1.6.4. Процент брака при изготовлении приборов составляет 5%. Для продажи взяли партию из 200 приборов. Найти наиболее вероятное число бракованных приборов в партии.

Ответы к упражнениям

1.6.1. а) ,

, , , ,

, , , , , ,

, , , ,

б) , , , , .

1.6.2. а) ; б) ; в) .

1.6.3. а) ; б) ; в) .

1.6.4. .

Контрольные вопросы

1. Какой случайный опыт называют схемой Бернулли?

2. Запишите формулу Бернулли для вероятности появления ровно успехов в серии из испытаний.

Задание для самостоятельной работы

Решите задачи: [ ], №№ 18.312 - 18.316, 18.322, 18.325, 18.328.

1.7. Условная вероятность

Пусть события и могут появиться в результате одного и того же случайного опыта. Предположим, что стало известно, что событие наступило, но не известно, какой именно из элементарных исходов, составляющих это событие, произошел. Тогда говорят о вероятности события при условии, что событие произошло, её называют условной вероятностью и обозначают . Соответственно, обычную вероятность называют безусловной вероятностью.