Схема Бернулли (стр. 3 )

Рассмотрим условную вероятность в рамках классической схемы. Известно, что событие произошло, т. е. реализовался один из элементарных исходов, благоприятствующих этому событию. Из них только исходов благоприятствуют и событию . Поэтому, согласно классическому подходу, следует считать:

. (1.7.1)

Таким образом, условную вероятность естественно интерпретировать как обычную, безусловную вероятность, но заданную не на всём пространстве элементарных исходов , а на новом пространстве элементарных исходов. Это можно проиллюстрировать и в рамках геометрической схемы. В самом деле, для безусловной вероятности имеем: . Аналогично, рассматривая условную вероятность как безусловную, но заданную на пространстве элементарных исходов , получим:

, (1.7.2)

см. рис. 1.7.1.

 

Рис. 1.7.1. К понятию «условная вероятность»

Таким образом, в рамках геометрической вероятности мы приходим к тому же выражению для условной вероятности, что и при использовании классического подхода, см. (1.7.1) и (1.7.2). Поэтому условной вероятностью события при условии события называют отношение

(1.7.3)

(предполагается, что ).

Пример 1.7.1.

Студент подготовился к ответу на первые 15 вопросов из 20 вопросов экзамена. Вопрос для ответа на экзамене выбирается наудачу. События: {выбран «хороший» билет}, {выбран билет из второй половины списка}. Найти вероятности и .

◄По формуле классической вероятности находим: , , . Далее, из (3.1.3) получаем: .

Рассмотрим условную вероятность как безусловную вероятность, заданную на пространстве элементарных исходов . В данном случае , где {выбран вопрос с -номером}, . Если рассматривать в качестве пространства элементарных исходов множество , то получим: . Поэтому .

Итак, , .►

Условная вероятность обладает всеми свойствами безусловной вероятности, т. к. для неё выполняются аксиомы обычной вероятности:

1. (аксиома неотрицательности);

2. (аксиома нормированности);

3. , если события и несовместны (аксиома сложения).

Упражнения

1.7.1. Убедитесь в выполнении аксиом неотрицательности и нормированности для условной вероятности.

1.7.2. Используя равенство (1.7.3) и свойство дистрибутивности умножения относительно сложения, докажите аксиому сложения для условной вероятности.

Замечания

1. На основании расширенной аксиомы сложения для безусловной вероятности можно убедиться в выполнении аналогичной аксиомы для условной вероятности:

.

2. Из (1.7.3) следует формула умножения вероятностей:

. (1.7.4)

3. Поменяв в (1.7.4) местами события и , и полагая , получим:

. (1.7.5)

Из (1.7.4) и (1.7.5) получаем так называемую теорему умножения

: (1.7.6)

вероятность произведения двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого при условии, что первое произошло.

Упражнения

1.7.3. Обобщите формулу (1.7.5) на случай трёх событий.

1.7.4. Обоснуйте формулу умножения вероятностей для событий:

. (1.7.7)

Пример 1.7.2.

Из урны, в которой первоначально было 5 белых и 5 чёрных шаров, извлекли последовательно без возвращения 3 шара.

Найти вероятность того, что все извлечённые шары – белые (событие ).

◄Пусть события {в -м извлечении взят белый шар}. Тогда, очевидно, , поэтому из формулы (1.7.7) при находим: .

Найдём вероятности в правой части последнего равенства. Очевидно, . Далее, , т. к. при условии, что событие произошло, ко второму извлечению в урне осталось 9 шаров, из которых 4 – белые. И, наконец, , поскольку, если произошло событие (и в первый, и во второй раз извлекли белый шар), то к третьему извлечению в урне было 8 шаров, из них 3 белых шара.