Схема Бернулли (стр. 5 )

Итак, события , называют независимыми в совокупности, если для любого набора из этих событий (;) выполняется равенство

. (1.8.4)

В частности, для событий , независимых в совокупности,

. (1.8.5)

Формула (1.8.5) обобщает равенство (1.8.3) и является частным случаем формулы вероятности произведения событий (1.7.7): она соответствует событиям , независимым в совокупности.

Замечание

Если события независимы в совокупности, то они и попарно независимы, т. е. для любых , . Обратное, вообще, говоря, не верно, т. е. попарно независимые события могут и не быть независимыми в совокупности.

Упражнения

1.8.5. Опыт состоит в бросании двух правильных монет и наблюдении выпавших сторон этих монет. События: {на первой монете выпал герб}, {на второй монете выпал герб}, {на двух монетах выпал ровно один герб}.

Убедитесь в том, что события попарно независимы, но не являются независимыми в совокупности.

1.8.6. Приведите свой пример трёх попарно независимых событий, не являющихся независимыми в совокупности.

Контрольные вопросы

1. Дайте определение условной вероятности и объясните его в рамках классической и геометрической схем.

2. Сформулируйте три основные свойства условной вероятности.

3. Сформулируйте теорему умножения.

4. Запишите формулу вероятности произведения событий.

5. Сформулируйте два определения независимости событий.

6. Какие события называют независимыми в совокупности?

7. Запишите формулу вероятности произведения событий, независимых в совокупности.

Задание для самостоятельной работы

1. Решите задачи: [1], №№ 18.163 – 18.167, 18.176 –18.179, 18.182 – 18.186.

1.9. Формулы полной вероятности и Байеса

Во многих случаях интересующее нас событие может произойти только вместе с одним из событий , . Например, рассмотрим такой опыт. В холле МИЭТ остановили случайно встреченного студента, проверили, знает ли он аксиомы теории вероятностей. Событие {выбранный студент знает аксиомы} может произойти только вместе с одним из событий {выбранный студент учится на -м курсе}, .

Отметим, что множество событий в этом и подобных случаях обладает такими свойствами:

а) в каждом опыте (например, по случайному выбору студента) обязательно происходит какое-либо из событий , т. е.

(в этом случае говорят, что - полная группа событий);

б) события попарно несовместны:

.

Итак, пусть в случайном опыте событие может произойти только вместе с одним из событий , , образующих полную группу попарно несовместных событий ( называют гипотезами). Тогда справедливо равенство

(1.9.1)

(формула полной вероятности).

◄Представим в виде , см. рис. 1.9.1. Поскольку , то и события , попарно несовместны, поэтому с учётом аксиомы сложения имеем:

. (1.9.2)

Рис. 1.9.1. К доказательству формулы полной вероятности

Далее, используя формулу умножения вероятностей (1.7.4), запишем: , , откуда с учётом (1.9.2) получаем (1.9.1).►

Пример 1.9.1.

На трёх заводах производятся однотипные изделия. В магазин поступило 50 изделий с первого завода, 20 изделий – со второго завода и 30 изделий –с третьего завода. Брак в общем количестве изделий, производимых на первом заводе, составляет 1%, на втором заводе – 2% и на третьем заводе – 3%. В магазине наудачу выбрано одно изделие для покупки. С какой вероятностью это изделие является бракованным?

◄Введём обозначения: ={выбрано бракованное изделие}, {выбранное изделие изготовлено на -ом заводе}, . Очевидно, гипотезы - составляют полную группу попарно несовместных событий.

Согласно условию задачи, вероятности гипотез равны: , , , а условные вероятности события равны: , , .