Основные теоремы дифференциального исчисления.
1.Теорема Ферма.
2.Теорема Ролля.
3. Теорема Лагранжа, Коши.
4. Правило Лопиталя.
5. Раскрытие неопределенностей вида :
Введение.
На предыдущих занятиях мы учились находить производные и дифференциалы функций. Теперь предстоит заняться более глубоким анализом свойств функций и их производных. При этом будут вскрыты связи между отдельными свойствами функций и их производных, что составляет теоретическую основу приложений дифференциального исчисления и открывает широкие возможности для различного рода приложений.
Рассмотрим группу теорем, которые в силу своего большого значения названы основными теоремами дифференциального исчисления. На них нужно обратить особое внимание при работе над данной лекцией.
В качестве примеров приложения основных теорем рассмотрим также вопрос о раскрытии неопределённостей.
1.Теорема Ферма.
Теорема Ферма (1601-1665 французский математик). Пусть функция 
определена на интервале 
и в некоторой точке 
этого интервала имеет наибольшее или наименьшее значение. Тогда, если в точке существует производная, то она равна нулю, т. е. 
.
| Геометрический смысл теоремы Ферма состоит в том, что если в точке
|
касательная к графику функции 
.
2.Теорема Ролля.
Теорема Ролля (1652-1719 французский математик). Пусть на 
определена функция , причем:
1) непрерывна на .
2) дифференцируема на ;
3) 
.
Тогда, существует точка 
, в которой 
.
| Геометрически теорема Ролля означает, что
|
графика непрерывной на отрезке 3. Теорема Лагранжа, Коши.
Теорема Лагранжа (1736-1813 французский математик). Пусть на определена функция , причем :
1) непрерывна на .
2) дифференцируема на .
Тогда существует точка такая, что справедлива формула
. (1)
Установим геометрический смысл теоремы Лагранжа. Величина 
является угловым коэффициентом секущей, проходящей через точки 
и 
графика функции 
, а 
- угловой коэффициент касательной к графику в точке 
. Из теоремы Лагранжа следует, что существует такая точка 
, что касательная к графику в точке параллельна на секущей 
. Таких точек может быть и несколько, но, по крайней мере, одна всегда существует.
Замечание. Равенство 
(2)
называется формулой Лагранжа или формулой конечных приращений.
Теорема Коши. (1789-1857 французский математик). Пусть функция и 
непрерывны на и дифференцируемы на . Пусть 
. Тогда существует точка такая, что справедлива формула
(3)
Эта формула называется формулой Коши или обобщенной формулой конечных разностей.
4. Правило Лопиталя.
Теорема Лопиталя. (1661 – 1704 французский математик). Пусть функции и 
дифференцируема во всех точках некоторой окрестности точки 
, за исключением, быть может, самой точки . Пусть 
и 
во всех точках этой окрестности. Тогда, если существует (конечный и бесконечный) предел 
, то существует 
, причем 
(4)
Эта теорема дает правило для раскрытия неопределенности вида 
, сводящее вычисление предела отношения двух функций к вычислению предела отношения их производных.
Замечание. Если производные 
и 
удовлетворяют тем же условия теоремы, что и сами функции, и если 
существует, то применяя дважды теорему, найдем, что 
.
Этот прием можно применить до тех пор, пока не будет получена дробь, для которой условия, предусмотренные теоремой, уже не выполняются.
Пример1.
Найти 
Пример2.
Найти 
.
Правило Лопиталя можно применять и к неопределенностям других видов,
предварительно преобразовав их к неопределенности вида 
или 
;
Пример.
Найти 
.
5. Раскрытие неопределенностей вида :
Неопределенности сводятся к двум основ-ным 
путем тождественных преобразований.
1) 
. Пусть 
при 
, тогда 
( или 
) .
Например : 
2) 
. Пусть 
при , тогда
На практике бывает проще
.
3) . Пусть 
при , или при , тогда 
удобно прологарифми-ровать 
.
Например: 
. Логарифмируем
и находим предел
Значит 
.
Решение можно оформить короче если воспользоваться формулой 
Заключение.
Производная позволяет характеризовать поведение функции лишь вблизи данной точки. В данной лекции нами были рассмотрены теоремы, позволяющие с помощью производной делать выводы о глобальном поведении функции, эти теоремы часто называют теоремами о среднем значении.
Производная помогает детальнее изучить свойства функций: установить интервалы возрастания и убывания функции; точки, в которых функция достигает наибольшего и наименьшего значений; интервалы выпуклости графика функции и т. д. В данной лекции нами были получены необходимые для исследования функции теоремы.
