УДК 512.815.6

Сплетения в мультипликативной группе

модулярной групповой алгебры группы G(32,15)

, к. ф.-м. н., доц., , студ., Запорожский государственный университет, , студ.,

Киевский национальный университет им. Тараса Шевченко

Пусть К – поле из p элементов, G – конечная p-группа, KG – ее модулярная групповая алгебра над полем K. В соответствии с гипотезой А. Шалева [1], в нормированную мультипликативную группу V(KG) вложено сплетение Cp wr G′ циклической группы порядка p с коммутантом группы G. Эта гипотеза подтверждена для некоторых классов групп, в т. ч. для p-групп с циклическим коммутантом при p>2 [2], 2-групп максимального класса [3]; контрпример же к ней до сих пор неизвестен. Ее проверка усложняется тем, что такое сплетение может быть вложено в группу V(KG) не только как подгруппа, но и как секция, т. е. факторгруппа некоторой ее подгруппы, что увеличивает количество возможных вариантов.

Предположительно, контрпримером к гипотезе Шалева может являться группа G(32,15) – пятнадцатая группа порядка 32 в соответствии с классификацией Ньюмена-О’Брайена (доступной в библиотеке конечных групп системы компьютерной алгебры GAP [4]).

В докладе будут представлены результаты связанного с гипотезой Шалева исследования мультипликативной группы модулярной групповой алгебры данной группы с помощью системы компьютерной алгебры GAP и пакета LAGUNA [5], устанавливающие новые факты о структуре группы V(KG). Расчеты производились с использованием созданного при поддержке корпорации Intel вычислительного кластера информационно-вычислительного центра Киевского национального университета им. Тараса Шевченко.

ЛИТЕРАТУРА:

1.A. Shalev. On some conjectures concerning units in p-group algebras. Rend. Circ. Mat. Palermo (2), 23:279-288, 1990. 2. A. Shalev. The nilpotency class of the unit group of a modular group algebra I. Isr. J. Math., 70:257-266, 1990. 3. A. Konovalov. Wreath рroducts in the unit group of modular group algebras of 2-groups of maximal class. Acta Math. Acad. Paed. Nyiregyhaziensis. - 2001. - №17. - c. 141-149. 4. The GAP Group, GAP − Groups, Algorithms, and Programming, Version 4.3; Aachen, St Andrews, 2002 (http://www. gap-system. org). 5. Bovdi V., Konovalov A., Schneider C. and Rossmanith R.: GAP 4 package LAGUNA — Lie AlGebras and UNits of group Algebras, Version 3.1, 2003 (http://ukrgap. exponenta. ru/LAGUNA. htm).