Направление 10 (стр. 1 )

НАПРАВЛЕНИЕ 10

Фундаментальные общенаучные исследования

(Науч. рук. д-р физ-мат. наук, проф. )

Кафедра высшей математики

Председатель

Зам. председателя

Секретарь

ПЕРВОЕ ЗАСЕДАНИЕ

5 апреля, 15.30, ауд. 4–309

1. , . Обобщение отображения Шварца-Кристофеля на слу­чай полигональной области со счетным множеством вершин и конечным вращением каса­тельной.

Доказана формула конформного отображения верхней полуплоскости на полигональную область с беско­нечным множеством вершин в неизвестных точках, с заданными внутренними углами при этих вершинах и с заданными прообразами вершин на вещественной оси, вида

.

Здесь углы, образованные с вещественной осью об­разами отрезков при отображении . Считаем, что эти числа обра­зуют две монотонные последовательности, сходящиеся к и соответственно, причем ряды сходятся. Кроме того, считаем выполненными условия , гарантирующие конечное враще­ние касательной к границе полигональной области. При дополнительных ограничениях на последовательности чи­сел доказана однолистность отображения . Результат обобщает на случай полигональной об­ласти с бесконечным числом вершин известную формулу Шварца-Кристофеля для отображения полуплоскости на многоугольник.

2. . Алгебра косых рядов множества n- матриц.

Пусть () – базис полной матричной алгебры (- матриц над R), - мерные подпространства с базисными матрицами , которые называются косыми рядами . Нумерация такова, что - подалгебра диагональных матриц, и - подпространства верхних (+2) и нижних (-2) рядов. Тогда справедлива.

Теорема. Совокупность () косых рядов образует алгебру с законом "умножения": , если , и , если .

Установлено правило перемножения матриц, элементы которых принадлежат Это правило

формулируется в символах косых рядов матричных сомножителей. Оно позволяет анализировать, из каких рядов перемножаемых матриц образуются ряды произведения. Полученные результаты дают возможность более простого оперирования треугольными и квази-треугольными матрицами. Они позволяют формулировать достаточные условия разрешимости в квадратурах достаточно широкого класса матричных дифференциальных уравнений.

3. , . Об одном варианте метода квадратур решения интегральных уравнений с особенностями в ядре.

Рассматриваются интегральные уравнения

Это уравнение решается приближенно одним из вариантов метода механических квадратур. За основу метода берется так называемая интервальная квадратурная формула. Дано обоснование в пространстве квадратично-суммируемых с определенным весом функций в промежутке (-1,+1).

4. . К вопросу построения уравнений состояния не линейно упругого тела.

Первоначально связь между компонентами напряжений и деформациями оболочки берем согласно Грину путем введения функции энергии деформации. Накладывая на тело условия однородности и изотропности функцию потенциальной энергии деформации аппроксимируем полиномам по степеням инвариантов тензора деформации. В результате были получены два варианта уравнений состояний тела: квадратичные уравнения и кубические уравнения типа "напряжения-деформация", справедливые для области малой деформации.

В дальнейшем все преобразования проводились только с квадратичными уравнениями. Квадратичные уравнения, полученные для области малой деформации, при помощи известного приема были распространены на область конечных деформаций. Затем, интегрируя полученные соотношения по толщине оболочки, устанавливаем связь между усилиями, моментами и деформациями срединной поверхности оболочки. Отметим так же, что при этом пренебрегаем квадратами деформации по сравнению с единицей.

Таким образом, в рамках нелинейной теории при конечных деформациях предложен "квадратичный" вариант уравнений состояний тела.

ВТОРОЕ ЗАСЕДАНИЕ

10 апреля, 15.30, ауд. 4–309

1. Л.А. Онегов. О кубатурных формулах для вычисления сингулярных интегралов специального вида.

Многие задачи механики и математической физики сводятся к вычислениям сингулярных интегралов различных видов и поэтому любые методы вычисления таких интегралов представляют значительный интерес.

В данном докладе для приближенного вычисления сингулярного интеграла по плоскости предлагаются кубатурные формулы двух видов: специальные кубатурные формулы и полные кубатурные формулы.

Построение предлагаемых приближенных формул проводится на классе функций, в котором сингулярный интеграл существует в смысле главного значения. Следует отметить, что исследуемые формулы имеют удобный для численной реализации метод.

2. . Применение программы Maxima при изучении высшей математики.

Мы привыкли, что компьютер используется при изучении прикладной математики. Это связано с тем, что обычные программы работают только с числами. Если вводится переменные, то для них надо задать численное значение. Такие программы не умеют вычислять производную или неопределенный интеграл. В то же время известны программы, предназначенные для выполнения аналитических действий, т. е. они могут работать с формулами. Хорошо известны такие программы как Mathematica, Maple и MathCad (правда, его возможности в этом плане не велики). Широкому распространению этих программ мешает их высокая стоимость. Например, стоимость Mathematic'и 5.1 от 2000 $.

Maxima – это не коммерческая программа, она распространяется совершенно свободно. В то же время она может почти все, что могут делать ее дорогие аналоги. Например, интегрировать, решать дифференциальные уравнения, разлагать функции в ряды Тейлора или Фурье, строить различные графики, линии и поверхности.

Конечно, использование программ, которые могут решать многие примеры из курса высшей математики, не означает полный переход преподавания на компьютер. По нашему опыту логично завершить изучение каждой темы занятием с Maxim'ой. Конечно, общий подход к построению курса высшей математики должен измениться. Например, в теме "Линейное программирование" (никакого отношения к информатике) не имеет смысла увлекаться разбором сложных примеров и алгоритмов, а надо сосредоточиться на решении задач, составлении системы ограничений, записи целевой функции.

3. . Напряженное состояние в пластине с S-образной трещиной с двумя каспами.

Рассматривается задача определения поля напряжения и направлений роста трещин в пластине с S-образной трещиной с двумя каспами. Задача решается с помощью комплексных переменных. Вначале находится функция, отображающая внешность трещины на внешность единичного круга, затем находятся функции потенциалов напряжений. С учетом граничных условий составляется система линейных алгебраических уравнений. В результате решения находятся неизвестные коэффициенты, входящие в эти функции. Решение системы производится на ЭВМ с помощью программы, составленной на языке Фортран. После нахождения коэффициентов, являющихся функциями, находим поле напряжений во всей пластине, включая точки вблизи каспов. При решении задачи варьируются как приложенные нагрузки, так и их направление. Задача решается для нагрузок сжатия и растяжения. В дальнейшем в каспах определяются направления роста трещин в зависимости от приложенных нагрузок.