Межпредметные связи математики и информатики с археологией (расчет «грушевидных» сосудов)

УДК 371.335.5:51+904

МЕЖПРЕДМЕТНЫЕ СВЯЗИ МАТЕМАТИКИ

И ИНФОРМАТИКИ С АРХЕОЛОГИЕЙ

(РАСЧЕТ «ГРУШЕВИДНЫХ» СОСУДОВ)

Центр международного образования МГУ

имени , г. Москва

Аннотация. Продолжается выявление межпредметных связей археологии с математикой и информатикой, начатое в работах [3]–[5]. Рассматривается пример исследования и расчета сложного «грушевидного» сосуда, найденного археологами Московского университета имени в курганном могильнике Первомайский Х (Волго-Донское междуречье), датированном I в. н. э. [2],

Ключевые слова: межпредметные связи, математика, информатика, археология, археологические раскопки, сосуды, форма, объем, приближенные вычисления.

Чистая математика не может развиваться, не отрицая себя как чистую математику, она развивается на основе применений, в связи с содержанием,

к которому применяется математический метод.

Продолжим исследовать сложные сосуды, найденные археологами из МГУ при археологических раскопках (начало см. в [3]–[5]). Остановимся на многочисленном классе «грушевидных» сосудов, ярким представителем которых является кувшин п. 2 [5] (см. рис. 1а): их чисто внешней особенностью является сходство с грушей.

Рис. 1

Напомним (см. рис. 1б и [5, с. 47]), что измерение соответствующих 16-ти радиусов (начиная с радиуса дна кувшина, затем 14-ти радиусов его горизонтальных сечений с шагом в 2 см по высоте и радиуса горла) дает массив

R = {4,0; 7,0; 9,0; 10,7; 11,9; 12,4; 12,0; 10,7; 7,8; 5,8; 5,0; 4,9; 4,9; 5,2; 6,0; 7,8}.

Поскольку характерной особенностью таких «грушевидных» сосудов является то, что профиль их боковой части представляет собой плавную, сугубо кривую линию, возникает желание попытаться сделать приближение рассматриваемой формы не только усеченными конусами, как это делалось в [5], но и в общем виде, рассмотрев профиль не как ломаную, состоящую из отрезков прямой, а как линию, состоящую из криволинейных отрезков, например, парабол.

1. Параболические приближения «грушевидных» сосудов. Конкретно для сосуда рис. 1а параболические приближения можно осуществить и использовать с целью более точного вычисления объема кувшина следующим образом: сделаем дополнительные построения на рис. 1б: введем ось x, приняв за нее ось вращения кувшина и направив ее вверх, а затем – ось y, направив ее по радиусу дна кувшина вправо.

Пусть y = f(x) – уравнение линии профиля боковой части АВ в построенной системе координат (см. рис. 2). Известно (см. [6, с. 256]), что объем тела вращения, образованного вращением криволинейной трапеции ОАВО1 вокруг оси x, выражается формулой

V = (1)

Рис. 2

2. Теория параболического приближения функции. Так как для нашего случая функция f(x) неизвестна, мы вынуждены взять для нее приближенное выражение. В [5] в качестве этой функции мы брали кусочно-линейную функцию с графиком АА1…А14В (проверьте это утверждение самостоятельно).

Наш опыт показал, что в таких случаях квадратичное приближение дает достаточно хорошие результаты. Действительно, парабола

y = ax2+ bx + c (2)

определяется своими тремя точками (xн; yн), (xс; yс), (xк; yк), где индексы у координат означают следующее: н – начальные, с – средние, к – конечные, поэтому естественно положить, что

xн < xс < xк. (3)

Для определения числовых значений коэффициентов a, b, c функции (2) мы можем поступить следующим образом. Составив соответствующую систему трех уравнений с тремя неизвестными a, b, c:

(4)

и решив ее, получаем:

a = Da /D; b = Db /D; c = Dc /D, (5)

где

D = xнxс(xн – xс) + xсxк(xс – xк) + xнxк(xн – xк),

Da = yн(xс – xк) + yс(xк – xн) + yк (xн – xс),

Db = x (yс – yк) + x ( yк– yн) + x ( yн – yс),

Dc = x (xсyк – xкyс) + x (xкyн– xнyк) + x (xнyс – xсyн).

Получив таким образом конкретный вид функции (2), подставляем ее в (1):

V(1-3)=

=

. (6)

3. Методики параболического приближения функции профиля «грушевидного» сосуда. Приступая к решению конкретной задачи для сосуда рис. 1а, мы можем определить вид квадратичной функции по любым трем подходящим (правдоподобным) точкам из массива {А, А1, …, А14, В}. Подходящими точками мы будем считать такие точки, которые определяют участок данной линии, похожий на параболу. Так, точки А1, А4, А7 можно считать подходящими, так как участок А1А7 похож на параболу. Однако участок А6А9 не похож на параболу, поэтому, какую бы точку между концами этого участка мы ни взяли в качестве третьей, полученная тройка точек не будет подходящей.

Далее, взять необходимые три точки мы можем подряд или нет. Поэтому появляется два варианта действий:

Вариант 1. Возьмем какой-то участок кривой АВ, который, по нашему мнению, можно предположить принадлежащим графику одной и той же параболы. Внимательно посмотрев на кривую АВ, попробуем взять участок АА7 и выбрать внутри него одну точку, например, А4, а затем по трем точкам А(0; 4,0), А4(8,0; 11,9), А7(14,0; 10,7) рассчитать параболу (2), т. е. вычислить значения коэффициентов a, b, c по координатам этих точек по приведенной выше методике, решив систему уравнений (4) при соответствующих значениях: xн = 0; yн = 4,0; xс = 8,0; yс = 11,9; xк = 14,0; yк = 10,7. Таким образом мы получим уравнение параболы, проходящей через точки А, А4, А7.

Затем в полученное выражение (2) подставляем абсциссы промежуточных точек, т. е. точек А1, А2, А3, А5, А6 и сравниваем полученные значения функции с соответствующими значениями ординат этих точек. Если они совпадают, то это означает, что участок АА7 кривой АВ действительно описывается только что выведенным уравнением. Придя к такому результату, можем вычислить квадратичное приближение объема части сосуда, образованного вращением участка АА7, воспользовавшись формулой (6) и взяв пределы интегрирования от 0 до 14,0. Если же полученные значения функции не совпадут с соответствующими ординатами точек, то мы будем вынуждены сделать вывод о том, что составленное нами уравнение не описывает линию профиля на рассматриваемом участке. Выход из создавшейся ситуации может дать рассмотрение более короткого участка линии АВ. Более того, можно пойти по второму варианту действий:

Вариант 2. Возьмем три точки подряд, начиная с точки А, т. е. точки А, А1, А2, и проделаем с ними все, что делали в варианте 1. Таким образом можно вычислить приближенный объем первых двух слоев. Затем рассматривается тройка точек А1, А2, А3 и теперь для нее проделывается то же самое, только вычисляется объем третьего слоя и т. д. В конце концов, выполнив аналогичные действия с точками А13, А14, В, получим объемы всех слоев. Просуммировав их, получим объем всего кувшина.

4. Компьютерная реализация параболического приближения. Из проведенных выкладок видно, что при решении рассматриваемой задачи требуется провести достаточно много трудоемких вычислений, поэтому целесообразно обратиться к компьютеру. Используем методику пособия по информатике [1, гл. 4, 5].

Решение задачи, описанное в варианте 1, — нахождение уравнения параболы, проходящей через три точки, — можно выполнить с помощью следующей программы:

ПРОГРАММА 1.1

10 REM ОПРЕДЕЛЕНИЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ УРАВНЕНИЯ ПАРАБОЛЫ

20 PRINT ВВЕДИТЕ КООРДИНАТЫ ТОЧЕК (XН;YН), (XС;YС), (XК;YК)

30 INPUT XН, YН, XС, YС, XК, YК

40 D=XНXС(XН-XС)+XСXК(XС-XК)+XНXК(XК-XН)

50 DA=YН(XС-XН)+YС(XК-XН)+YК(XН-XС)

60 DB=XН^2(YС-YК)+XС^2(YК-YН)+XК^2(YН-YС)

70 DC=XН^2(XСYК-XКYС)+XС^2(XКYН-XНYК)+XК^2(XНYС-XСYН)

80 A=DA/D:B=DB/D:C=DC/D

90 PRINT «А=»;А; «В=»;В; «С=»;С

100 END

5. Проверка качества приближения. Для вычисления значений функции при значениях абсцисс x промежуточных точек линии АА7 – в данном случае при

x {2,0; 4,0; 6,0; 10,0; 12,0} (7)

и сравнения полученных значений с соответствующими ординатами

y {7,0; 9,0; 10,7; 12,4; 12,0} (8)

этих точек в программу необходимо вставить следующие строки (после чего получим программу 1.2):

91 PRINT «ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО ПРОМЕЖУТОЧНЫХ ТОЧЕК М»

92 INPUT M

93 DIM X(20),Y(20)

94 FOR K=1 TO M

95 PRINT «ВВЕДИТЕ»; K; «-Е ЭЛЕМЕНТЫ МАССИВОВ X, Y»

96 INPUT X(K),Y(K)

97 Y=AX(K)^2+BX(K)+C: АР=ABS(Y-Y(K)):OP=AP/Y(K)

98 PRINT «X=»;X(K);«см»; «Y=»;Y;«см»; «Y-Y(»; K; «)=»; Y-Y(K);«см», «AP=»;AP; «OP=»;OP; «=»;OP100; «%»

99 NEXT K

Здесь сравнение производится с помощью вычисления разности, абсолютной погрешности AP и относительной погрешности OP.

Запустив составленную программу и введя значения координат точек А, А4 и А7, получаем уравнение

y = - 0,0848143x2 + 1,666071x + 4,

после подстановки в которое значений абсцисс x из массива (7) приходим к выводу о том, что все вычисленные значения y отличаются от соответствующих ординат из массива (8):

? 2,7

X=2 Y=6.992885 Y-Y(1)= -7.114887E-03 AP=7.114887E-03 OP=.1016413 %

? 4,9

X=4 Y=9.307256 Y-Y(2)=.3072557 AP=.3072557 OP=3.413953 %

? 6,10.7

X=6 Y=10.94311 Y-Y(3)=.2431116 AP=.2431116 OP=2.272071 %

? 10,12.4

X=10 Y=12.17928 Y-Y(4)= -.2207193 AP=.2207193 OP=1.779995 %

? 12,12

X=12 Y=11.77959 Y-Y(5)= -.2204065 AP=.2204065 OP=1.836721 %

При этом различия достаточно большие: абсолютная погрешность этих значений доходит до 0,3 см (для точки А2), что превышает абсолютную погрешность измерения, равную в наших примерах 0,1 см (максимум 0,2 см). Таким образом, наше предположение о том, что точки А, А1, …, А7 лежат на одной параболе, неверно, даже приближенно.

Далее мы можем рассмотреть более короткий участок линии АВ, например, АА4, и выделить на нем точки А, А2, А4. Квадратное уравнение, составленное по этим точкам, имеет вид

y = - 0,06562501x2 + 1,5125x +4,

а абсолютная погрешность вычисленных по этой формуле значений ординат промежуточных точек А1 и А3 составляет порядка 0,24 см (для точки А1), что превосходит абсолютную погрешность измерения. Что касается относительной погрешности полученного значения y при x = 2,0 см, то ее значение (3,4 %) еще более «грубое», т. е. значительно превосходит относительную погрешность измерения ординаты точки А1 (равной 0,1/7,0 = 1,4 %). Следовательно, опять неудача.

6. Оптимальное приближение. Придется воспользоваться вторым вариантом. Для него составим следующую программу:

ПРОГРАММА 2

10 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА СОСУДА С КВ. ПРИБЛИЖЕНИЕМ

20 DIM X(100), Y(100)

30 PRINT «ВВЕДИТЕ КОЛИЧЕСТВО CЛОЕВ N»

40 INPUT N

45 REM ВВЕДЕНИЕ МАССИВОВ X, Y

50 F0R K=0 TO N

60 PRINT «ВВЕДИТЕ»; K; «-Е ЭЛЕМЕНТЫ МАССИВОВ X, Y»

70 INPUT X(K),Y(K)

80 NEXT K

85 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ КОЭФ. А, В,С ДЛЯ КВ. ПРИБЛ. ПО ТОЧКАМ 0–1-2

90 XH=X(0):YH=Y(0):XC=X(1):YC=Y(1):XK=X(2):YK=Y(2)

100 GOSUB 220:PRINT «I=0»; «XH=»;XH; «XC=»;XC; «XK=»;XK; «A=»;A; «B=»;B; «С=»;C

105 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММЫ ОБЪЕМОВ 1 - 2 СЛОЕВ

110 GOSUB 290:PRINT «V(0–2) =»;W; «куб. см»

120 V=W

124 PRINT

125 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМОВ 3 - N СЛОЕВ И ОБЪЕМА СОСУДА

130 FOR I=1 TO N-2

135 REM ВЫЧ. КОЭФ. А, В,С ДЛЯ КВ. ПРИБЛ. ПО ТОЧКАМ I-(I+1)-(I+2)

140 XH=X(I):YH=Y(I):XC=X(I+1):YC=Y(I+1):XK=X(I+2):YK=Y(I+2)

150 GOSUB 220:PRINT «I=»;I; «XH=»;XH; «XC=»;XC; «XK=»;XK; «A=»;A; «B=»;B; «С=»;C

155 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ ОБЪЕМА (I+2)-ГО СЛОЯ

160 XH=XC:YH=YC

170 GOSUB 290:PRINT «V(»;I+1;«-»;I+2;«)=»;W; «куб. см»

175 REM ВЫЧИСЛЕНИЕ СУММЫ ОБЪЕМОВ 1 - (I+2) СЛОЕВ

180 V=V+W:PRINT «V(0 -»;I+2;«)=»;V; «куб. см»

184 PRINT

190 NEXT I

200 PRINT «ОБЪЕМ СОСУДА V(0-»;N; «)=»;V; «куб. см»

210 GOTO 330

220 REM ПОДПРОГРАММА ВЫЧ. КОЭФ. A, B, C ДЛЯ КВ. ПРИБЛ.

230 D=XHXC(XH-XC)+XCXK(XC-XK)+XHXK(XK-XH)

240 DA=YH(XC-XK)+YC(XK-XH)+YK(XH-XC)

250 DB=XH^2(YC-YK)+XC^2(YK-YH)+XK^2(YH-YC)

260 DC=XH^2(XCYK-XKYC)+XC^2(XKYH-XHYK)+XK^2(XHYC-XCYH)

270 A=DA/D:B=DB/D:C=DC/D

280 RETURN

290 REM ПОДПРОГРАММА ВЫЧ. ЭЛЕМЕНТАРНОГО ОБЪЕМА

300 DEF FNP(X)=X(A^2X^4/5+ABX^3/2+(B^2+2AC)X^2/3+BCX+ C^2)

310 W=3.14(FNP(XK)-FNP(XH))

320 RETURN

330 END

Поскольку программа достаточно длинная и сложная, в нее введены специальные строки с подзаголовками (их номера оканчиваются на 5) – это строки 45, 85, 105, 125, 135, 155, 175. Кроме того, для удобства считывания результатов с экрана дисплея расчет объемов первых двух слоев и всех последующих слоев друг от друга отделяется пустой строкой (их номера оканчиваются на 4) – это строки 124 и 184.

Запустив эту программу и введя массивы X и Y в соответствии со строками 45 – 80, получаем:

ОБЪЕМ СОСУДА=V(0-15)=6705.776 куб. см

Округлив это значение до двух значащих цифр, приходим к окончательному ответу:

V ≈ 6700 см3 = 6,7 дм2 = 6,7 л,

который совпадает с ответом, полученным в [5], где при вычислении объема кувшина мы использовали приближение конусами. Значит, разработанное нами в [5] приближение конусами – достаточно точное.

7. Внедрение разработанных методик. Предложенную здесь методику приближений можно использовать для вычисления объемов и других сосудов, например, чаши п. 1 из статьи [3], где при вычислении объема этой чаши мы применили приближение цилиндром, а в п. 4 из [5] - конусами. Воспользовавшись дополнительными построениями п. 4 [5, рис. 4] и результатами соответствующих измерений и запустив для них Программу 2, на экране дисплея получим:

ОБЪЕМ СОСУДА=V(0-4)=1907.693 куб. см

Округлив это значение до двух значащих цифр, приходим к выводу:

V(0-4) ≈ 1900 см3 ≈ 1,9 дм3 = 1,9 л,

что совпадает с ответом, полученным в п. 4 [5]. Значит, как и в предыдущем примере, приближения конусами были разработаны нами достаточно хорошо, а именно, достаточно удачно нами было сделано разбиение рассматриваемых форм на слои (в первом примере слои достаточно тонкие, во втором – достаточно тонкие там, где профиль чаши имеет наибольшую кривизну).

8. Зависимость точности приближения от разбиения. Для того чтобы убедиться в том, что точность приближения зависит от разбиения, предлагаем читателю выполнить приближение кувшина рис. 1 конусами не как в [5], а несколько иначе — взяв за опорные точки его профиля, например, точки А, А2, А4, А6, А8, А10, А12, В (их более чем в два раза меньше, чем раньше), и затем воспользовавшись Программой 2 из [5]. В результате придете к:

V = 6583.596 куб. см

После соответствующего округления получите: V ≈ 6,6 л, что не совпадает с полученным ранее результатом и дает относительную погрешность

= ≈ 1,5 %,

что не существенно, поскольку не превышает максимальную относительную погрешность получения исходных данных (измерения исходных элементов – радиусов и высот), значение которой не превышает 2,5 % (действительно, ведь она не больше, чем 0,1/4,0 = 0,025 = 2,5 %).

Для интереса проделайте вычисления с выбранными здесь опорными точками с помощью Программы 2 и Вы не пожалеете, так как получите:

V = 6704.306 куб. см

что после округления превращается в V ≈ 6,7 л, т. е. не отличается от результата ранее проведенного приближения, когда мы использовали гораздо больше опорных точек.

Таким образом, можно сделать вывод о том, что квадратичное приближение более надежное, нежели приближение конусами.

9. Практика сравнения различных приближений. Теперь интересно, воспользовавшись методикой квадратичного приближения, вернуться к задаче п. 1 [3], рассмотрев разбиение формы блюда, предложенное в п. 4 [5]. Запустив Программу 2 и введя массивы (5) из [5], на экране дисплея получаем:

ОБЪЕМ СОСУДА=V(0-4)=1907.693 куб. см

После округления до двух значащих цифр приходим к тому, что V ≈ 1,9 л, а этот результат совпадает с полученным в п. 4 [5], где использовалось приближение усеченными конусами. Таким образом, для задачи п. 1 [3] при разбиении п. 4 [5] квадратичное приближение и приближение усеченными конусами дают одинаковые результаты. Какой можно сделать вывод из этого? Только такой, что разбиение п. 4 [5] оказалось достаточно хорошим для приближения усеченными конусами.

***

В заключение отметим, что настоящие разработки очень полезны для успешного нестандартного усвоения раздела математики, который чаще всего называется «Начала анализа» и является пропедевтическим курсом высшей математики, точнее, дифференциального и интегрального исчисления… — они дают более широкий взгляд на тела вращения, способствуют закреплению у учащихся умения выражать объем тела, образованного вращением вокруг оси абсцисс криволинейной трапеции, ограниченной сверху графиком какой-то непрерывной положительной на данном отрезке функции. Как отмечалось ранее, последний материал входит в школьную программу по математике (см. [6, с. 355–357]), однако находится в самом ее конце и применяется только для вывода формул и вычисления объемов шара, шарового сегмента и шарового сектора. Предлагаемый здесь «дополнительный» материал может быть с легкостью воспринят интересующимися учащимися как обобщение и интересное приложение изучаемых в школе теории определения площади криволинейной трапеции с помощью интеграла и теории пределов.

Как составную часть этого достоинства выделим методический момент, связанный с активизацией применения очень важного в пропедевтическом плане метода координат.

С точки зрения прикладной математики здесь налицо естественное, практическое применение теории приближенных вычислений и оценок, включающие в себя такие понятия, которые можно со всей ответственностью назвать затеоретизированными в школьном курсе математики, так как практически не имеют приложений в школьном задачном материале. Мы имеем в виду такие важные для решения жизненных и, следовательно, приближенных, задач, как округление чисел, абсолютная и относительная погрешности и их практическая интерпретация, т. е. их использование для сравнения результатов решения задачи различными способами и выбора наиболее точного из всех приближенных результатов.

Литература

1.  Введение в информатику / , . – М.: УРСС, 1997. – 208 с.

2.  Курганный могильник Первомайский Х / , // Древности Евразии: сб. ст. / отв. ред. , . – М.: ГИМ – МГУ им. , 1997. – С. 169–185.

3.  Межпредметные связи математики, черчения и информатики с историей // Проблемы учебного процесса в инновационных школах: сб. науч. тр. / под ред. . – Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2008. – Вып. 13. – С. 82–92.

4.  Межпредметные связи математики, черчения и информатики с археологией // Проблемы учебного процесса в инновационных школах: сб. науч. тр. / под ред. . – Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2009. – Вып. 14. – С. 74–84.

5.  Межпредметные связи математики и информатики с археологией (расчет сложных сосудов) // Проблемы учебного процесса в инновационных школах: сб. науч. тр. / под ред. . – Иркутск: Изд-во Иркут. гос. ун-та, 2010. – Вып. 15. – С. 41–52.

6.  Геометрия: Учебник для 7 – 11 классов общеобразоват. учреждений. – 10-е изд. – М.: Просвещение, АО «Московские учебники», 2000. – 383 с.

INTERSUBJECT COMMUNICATIONS OF MATHEMATICS AND COMPUTER SCIENCE WITH ARCHEOLOGY (сalculation of «pear-shaped» vessels)

T. Kuznetsova

Annotation. Revealing of intersubject communications of archeology with mathematics and the computer science, begun in works [3] – [5] proceeds. The example of research and calculation of the difficult "pear-shaped" vessel found archeologists of the Lomonosov Moscow State University in the Burial ground Pervomajskij Х (Volga-Don mezhdurechye), dated I century d. C. [2] is considered.

Key words: intersubject communications, mathematics, computer science, archeology, archeological excavations, vessels, the form, volume, approximate calculations.