Методические указания по МДК.01.04 «Математические методы разработки алгоритмов» (стр. 4 )

= | –14 | > 1,

= | 12–14 | >1

Условие сходимости не выполняется, следовательно, функция в таком виде непригодна.

С п о с о б 2 – выражаем x из исходного уравнения:

– 15x = – 7 – 4x3,

получаем:

Следовательно,

.

Проверяем, выполняется ли условие сходимости на отрезке [0, 1]:

= |0|<1;

< 1.

Условие сходимости выполняется на заданном отрезке, значит, можно воспользоваться функцией для реализации метода итерации.

П р и м е р 2. Пусть требуется определить корень уравнения

на отрезке [0, 1].

С п о с о б 3 – представляем исходное уравнение в виде:

и логарифмируем обе части этого уравнения:

,

получаем:

x = .

Следовательно,

= ,

= .

Проверяем, выполняется ли условие сходимости на отрезке [0, 1]:

= |-0,5| < 1;

= |-0,269| < 1.

Условие сходимости выполняется.

С п о с о б 4 – для некоторых уравнений рассмотренные выше способы преобразования не дают желаемых результатов. В таких случаях рекомендуется применить следующий прием, гарантирующий выполнение условия сходимости метода итерации.

Левую и правую части исходного уравнения f(x) = 0 умножаем на произвольную константу λ и прибавляем к обеим частям неизвестное x:

x = x + λf(x),

тогда

= x + λf(x)

Коэффициент λ задается следующим образом:

λ = ,

где M – наибольшее значение производной на отрезке [a, b],

М =

Алгоритм, реализующий метод итерации, представлен на рис. 1.13.

Порядок выполнения лабораторной работы

1.  Графически или аналитически отделить корень уравнения .

Для метода итерации преобразовать уравнение к виду так, чтобы в некоторой окрестности корня производная удовлетворяла условию . При этом следует помнить, что чем меньше , тем быстрее последовательные приближения сходятся к корню. Для методов Ньютона и итераций выбрать начальное приближение, лежащее на отрезке . Разработать функцию для вычисления корня заданным методом с оценкой скорости сходимости метода (подсчет числа итераций для достижения решения с заданной погрешностью). Разработать главную программу, осуществляющую ввод исходных данных, вызов функций для решения уравнения и вывод результатов вычислений. Провести вычисления по программе. Сравнить заданные методы по скорости сходимости.

Варианты заданий

1.  Решить уравнение x3 +3x2 –3=0 на отрезке [0.5, 1.5] с точностью e методами дихотомии и Ньютона.

2.  Решить уравнение на отрезке [0, 3] с точностью e методами хорд и итерации.

3.  Решить уравнение x2 – 4 | x| + 3 = 0 на отрезке [–5, 5] с точностью e методами хорд и итерации.

4.  Решить уравнение e x – 10 x = 0 на отрезке [0, 5] с точностью e методами дихотомии и итерации.

5.  Решить уравнение x3 – 2x2 –4x + 7 = 0 на отрезке [–3, 3] с точностью e методами хорд и Ньютона.

6.  Решить уравнение 2cos (x+ π/6) + x2 – 3x + 2 = 0 на отрезке [0, 5] с точностью e методами Ньютона и итерации.

7.  Решить уравнение x2+sin3x=0 на отрезке [–3, 3] с точностью e методами дихотомии и хорд.

8.  Решить уравнение 5sinx - x = 0 на отрезке [0, 4] с точностью e методом хорд и модифицированным методом Ньютона.

9.  Решить уравнение 3x – sinx – 7=0 на отрезке [–1, 6] с точностью e методами дихотомии и итерации.

10.  Решить уравнение 5x – 8 lnx – 8 = 0 на отрезке [0, 4] с точностью e методом дихотомии и модифицированным методом Ньютона.

11.  Решить уравнение lnx –7 + 2x = 0 на отрезке [–10, 5] с точностью e методом итерации и модифицированным методом Ньютона.

12.  Решить уравнение 3x – cosx – 1 =0 на отрезке [–3, 3] с точностью e методами дихотомии и хорд.

13.  Решить уравнение x – sinx – 0,25 = 0 на отрезке [–5, 5] с точностью e методами Ньютона и итерации.

14.  Решить уравнение sin(x+1) – 0,5x =0 на отрезке [–0.5, 1.5] с точностью e методами дихотомии и Ньютона.

15.  Решить уравнение sin(x – 0,5) + x – 1 = 0 на отрезке [–2, 5] с точностью e методами хорд и итерации.

16.  Решить уравнение (x–2)cosx – 1= 0 на отрезке [–1, 1] с точностью e методами дихотомии и итерации.

17.  Решить уравнение x – cosx – 1 = 0 на отрезке [0, 3] с точностью e методом хорд и модифицированным методом Ньютона.

18.  Решить уравнение sin(x+π/3) – 0,5x =0 на отрезке [–2, 2] с точностью e методами дихотомии и хорд.

19.  Решить уравнение ex +x+1=0 на отрезке [0, 3] с точностью e методами дихотомии и итерации.

20.  Решить уравнение xln(x+1) – 1 = 0 на отрезке [–2, 2] с точностью e методом итерации и модифицированным методом Ньютона.

.

Лабораторная работа № 2

Численное интегрирование

Цель работы – изучение методов численного интегрирования (прямоугольников, трапеций, Симпсона), приобретение навыков программирования реализации этих методов на языке С.

Методические указания

Требуется вычислить определенный интеграл:

(2.1)

Если интеграл вычисляется («берущийся»), то можно применить формулу Ньютона-Лейбница:

(2.2)

Когда f(x) – сложная, её можно аппроксимировать простыми формулами, например, построить интерполяционные полиномы по нескольким точкам.

Такая аппроксимация позволяет приближенно заменить определенный интеграл конечной суммой

(2.3)

где - значения функции в узлах интерполяции, - числовые коэф­фициенты. Соотношение (2.3) называется квадратурной формулой, а его правая часть – квадратурной суммой. В зависимости от способа ее вычисления получаются разные методы численного интегрирования (квадратурные формулы) – методы прямоугольников, трапеций, па­рабол.

Метод прямоугольников

Различают методы левых, правых и средних (центральных) прямоугольников. Суть метода ясна из рис. 2.1 – 2.3. На каждом шаге интегрирования функция аппроксимируется полиномом нулевой степени – отрезком, параллельным оси абсцисс:

– левая формула (формула левых прямоугольников).