4 + 2×4 = 12

4 + 4 = 8

4 < 6

4 < 8

Таким образом, можно сделать вывод о том, что разумно сократить, если это возможно, производительность по операциям 3 и 4, результатом чего будет снижение себестоимости и увеличение прибыли.

Лабораторная работа № 2 (4 часа)

Элементы теории игр

До этого момента, рассматривая задачи принятия решений, мы предполагали, что выбор оптимального решения всегда осуществляется каким-либо одним лицом – «лицом, принимающим решение». Теперь мы рассмотрим ряд задач, которые предполагают наличие нескольких независимых, но в равной степени заинтересованных в конечном результате участников. Кроме того, все решения всеми участниками будут приниматься в условиях неопределенности, а оптимальное значение целевой функции для каждого из них будет зависеть от решений, принимаемых всеми участниками. Классы подобных задач, т. е. задач, исследующих ситуации, в которых принятие решения зависит от нескольких участников, рассматривается в специальном разделе математики – Теории игр.

Исходя из всего сказанного, можно дать следующее формальное определение Теории игр как науки. Теория игр – это раздел математики, в котором исследуются математические модели принятия оптимальных решений в условиях конфликта, т. е. в условиях столкновения сторон-участников, каждый из которых стремится повлиять на развитие конфликта в соответствии со своими собственными интересами. Примером таких ситуаций может служить маркетинговые исследования и большинство задач планирования в экономике.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Как уже отмечалось, решение в теории игр принимается, помимо всего прочего, в условиях неопределенности. На практике это означает, что лицо, принимающее решение (в дальнейшем мы будем называть его игроком), располагает информацией лишь о множестве возможных ситуаций, в которых он может оказаться, о множестве решений (в дальнейшем мы будем называть их стратегии), которые он может принять и о количественной оценке того выигрыша, который он мог бы получить, при выборе в данной ситуации данной стратегии. Неопределенность в такой ситуации является следствием деятельности других игроков по достижению их собственных целей – получение максимального выигрыша.

Пусть для проектируемой системы можно указать набор возможных условий, в которых предстоит ей функционировать, то есть набор возможных ситуаций:

Можно также указать определенный набор вариантов ее структуры, то есть набор альтернатив

Из этого перечня выбирают альтернативу наиболее эффективную в смысле минимального влияния на функционирования системы отклонений от нормальных условий.

Выбор наилучшей альтернативы часто затруднен, поскольку информация о возможных ситуациях недостаточна или отсутствует. В этих случаях могут быть полезны методы и модели теории игр. Составим матрицу альтернатив и состояний: .

- альтернативы, одну из которых мы хотим выбрать

- возможные отклонения от возможных условий.

- эффективность альтернативы в условиях .

Таблица, в которой записывают правила игры, в теории игр называют платежной матрицей. Эта таблица содержит выигрыши игрока А, называемого максимизирующим игроком, и проигрыши игрока В, называемого минимизирующим.

Если выигрыш одного партера равен проигрышу другого, то такие игры называют антагонистические. Рассмотрим пример такой игры (таблица. 1)

B A	I	II	III
1	2	-1	1
2	-2	1	-1
3	-2	1	-2
4	2	-2	3

табл. 1

Принцип Вальда

Если речь идет только об одной партии игры, рассуждение игроков согласно этому принципу следующее:

Мои минимальный выигрыш для каждой стратегии (1, 2, 3, 4) будет такой (-1; -2; -2; -2).

Я выбираю максимум из минимальных выигрышей, то есть играю чистую стратегию 1.

- нижняя цена игры (гарантированный выигрыш)

Игрок В Мои максимальный проигрыш для стратегии ( I, II, III ) будет соответственно

(2; 1; 3), следовательно β - верхняя цена игры равна 1 (максимальный проигрыш 1).

Я выбираю минимум среди максимальных проигрышей – то есть избираю чистую стратегию II.

Очевидно, что выбор стратегии, отличных от стратегий определяемых принципом фон Неймана, только увеличивает риск каждого игрока.

Рассмотрим теперь матрицу .

B A	I	II
1	-1	1
2	(1)	2
3	0	-1

Поиск максимина приводит игрока А к стратегии (2) – откуда минимальный гарантированный выигрыш – (1).

Поиск минимакса приводит игрока А к стратегии (I) – откуда минимальный гарантированный проигрыш – (1).

Здесь максимин и минимакс совпадают. Они имеют в качестве своего значения один и тот же элемент, который называется седловой точкой (наименьший в своей строке и наибольший в своем столбце)

Тогда, каким бы ни было число партий в матче, выбираемые оптимальные стратегии останутся одними и теми же. В каждой партии А будет выигрывать, а В будет проигрывать 1.

В предыдущем примере матрица не имеет седловой точки.

Представим себе, что противники решили играть матч. Рассуждения противников будут следующие.

Независимо от принятой противником стратегии, я выбираю строки 1, 2, 3, 4 с частотами

так, чтобы обеспечить выигрыш не меньший, чем (g).

Игрок А

Игрок В

Независимо от принятой противником стратегии, я выбираю столбец (I, II, III) с частотами

так чтобы обеспечить проигрыш не больший, чем (g).

Мы пришли к задачам линейного программирования ( прямой и двойственной).

Существование смешанной оптимальной стратегии – содержание теоремы Фон Неймана.

Здесь мы находим понятие равновесия (едина значение игры), устойчивости и безопасности (невозможность для каждого игрока отклониться от оптимальной стратегии без дальнейшего риска)

Задачи принятия решения в условиях неопределенности

Ранее уже отмечалось, что в один из принципов классификации задач исследования операций тесно связан с понятием информационного состояния лица, принимающего решение. В соответствии с эти принципом все задачи исследования операций могут быть поделены на три класса: детерминированные, стохастические и неопределенные.

О принадлежности задачи исследования операций к классу детерминированных задач говорят в случае обладания лицом, принимающим решение, полного объема необходимой ему информации. Поэтому их также называют задачами принятия решений в условиях определенности.

В случае ограниченности или неточности информации возможна одна из двух ситуаций: принятие решений в условиях риска (задачи принятия решений в условиях риска) и принятие решений в условиях неопределенности (задачи принятия решений в условиях неопределенности). В первой ситуации неполнота исходной информации выражена в наличии законов распределения случайных величин, входящих в стохастические модели принятия решений. Во второй же ситуации априорная информация о законах распределения этих случайных величин не доступна.

Ниже приведены наиболее часто применимые на практике критерии принятия решений в условиях неопределенности:

1. критерий Лапласа;

2. критерий минимакса (максимина);

3. критерий Сэвиджа;

4. критерий Гурвица.

5. критерий благоприятного в среднем решения.

Основное различие между выше перечисленными критериями определяется стратегией поведения лица, принимающего решение, в условиях неопределенности. Так, например, критерий Лапласа основан на более оптимистичных взглядах лица, принимающего решение, чем, например, критерий минимакса, а критерий Гурвица, в свою очередь, можно использовать при различных подходах: от наиболее пессимистичного до наиболее оптимистичного. Таким образом, данные критерии, несмотря на свою количественную природу, в большой степени отражают субъективную оценку ситуации в предметной области, в которой приходится принимать решение, лица, принимающего решение.