Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
Подраздел 5. Некоторые сведения из теории линейных функционалов и операторов в гильбертовых пространствах.
Формальное построение интеграла Фурье. Представление функции в виде интеграла Фурье. Условие Дини. Преобразование Фурье и его свойства. Преобразование Фурье быстро убывающих функций. Преобразование Фурье свертки. Теорема Планшереля.
Определение гильбертова пространства и унитарного оператора. Теорема о существовании счетного ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве. Теорема Рисса. Определение ограниченного оператора, компактного оператора. Норма оператора. Спектр оператора (точечный, непрерывный, остаточный). Теорема о спектре компактного оператора. Теорема Фредгольма. Теорема Гильберта–Шмидта.
Раздел 2. Эллиптические задачи.
Подраздел 1. Разрешимость задачи Дирихле и задачи Неймана для уравнения Пуассона.
Постановка задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Определение классического решения. Определение обобщенного решения. Существование и единственность обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Собственные значения и собственные функции эллиптических задач. Нахождение решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона с помощью разложения в ряд по собственным функциям.
Формула интегрирования по частям.
Фредгольмова разрешимость задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Проблема минимума квадратичного функционала. Существование и единственность минимизирующего элемента для квадратичного функционала. Метод Ритца. Вариационный метод решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Разрешимость задачи Неймана для уравнения Пуассона. Обобщенные и классические решения. Необходимое и достаточное условие существования обобщенного решения. Собственные значения и собственные функции оператора Лапласа с условиями Неймана.
Подраздел 2. Обобщенные и классические решения эллиптических задач, гладкость решений.
Гладкость обобщенных решений эллиптических задач внутри области. Обобщение результатов на случай 
. Гладкость обобщенных решений эллиптических задач вблизи границы. Обобщение результатов на случай 
.
Теоремы о гладкости обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона (локально и в замыкании области). Связь между обобщенными и классическими решениями. Гладкость обобщенных собственных функций задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Гладкость обобщенных решений задачи Неймана для уравнения Пуассона (внутри области и вблизи границы). Следствия.
Формула Грина. Интегральное представление функций. Первая теорема о среднем. Вторая теорема о среднем. Принцип максимума. Единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона
Раздел 3. Эволюционные уравнения.
Формальное решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье. Существование и единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения. Представимость решения в виде ряда. Априорная оценка решения.
Формальное решение смешанных задач для уравнения теплопроводности методом Фурье. Существование и единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности.
Приближенное решение смешанных задач для волнового уравнения и уравнения теплопроводности методом Галеркина.
Формула Кирхгофа. Формулы Пуассона и Даламбера. Метод спуска.
Существование и единственность классического решения задачи Коши для волнового уравнения.
Решение задачи Коши для уравнения теплопроводности.
Раздел 4. Теория полугрупп и ее приложения.
Примеры задач, порождающих полугруппы. Равномерно непрерывные полугруппы. Генератор полугруппы. Теоремы о генераторе полугруппы.
Определение сильно непрерывной полугруппы. Оценка на рост полугруппы. Теоремы о генераторе сильно непрерывной полугруппы.
Теорема Хилле-Иосиды. Следствия из теоремы Хилле-Иосиды.
Решение задачи Коши для операторно-дифференциальных уравнений методом полугрупп. Решение смешанных задач для параболических дифференциальных уравнений методом полугрупп. Решение задачи Коши для уравнения диффузии методом полугрупп.
Конкретный перечень знаний, умений и навыков по каждой теме и требования к минимальному уровню их освоения (в соответствии с приказом ректора № 000 от 20 июня 2013 г.)
Тема | Перечень знаний, умений и навыков по теме | Требования к минимальному уровню освоения |
Введение в уравнения с частными производными, постановка задач математической физики | Знать: основные определения и обозначения, используемые в курсе уравнений математической физики; классификацию линейных уравнений в частных производных второго порядка. Уметь: приводить примеры уравнений в частных производных различных классов; записывать матрицу перехода и трансформацию уравнения при замене системы координат; формулировать задачу Коши для волнового уравнения и для уравнения теплопроводности; формулировать смешанные задачи для волнового уравнения и для уравнения теплопроводности; формулировать краевые задачи для уравнения Пуассона; приводить к каноническому виду линейные уравнения в частных производных второго порядка; находить общее решение линейного уравнения в частных производных второго порядка. | Знать: основные определения и обозначения, используемые в курсе уравнений математической физики; классификацию линейных уравнений в частных производных второго порядка. Уметь: определять тип уравнения в частных производных; формулировать задачу Коши для волнового уравнения и для уравнения теплопроводности; формулировать смешанные задачи для волнового уравнения и для уравнения теплопроводности; формулировать краевые задачи для уравнения Пуассона; приводить к каноническому виду линейное уравнение в частных производных второго порядка с переменными коэффициентами в плоской области; приводить к каноническому виду линейное уравнение в частных производных второго порядка с постоянными коэффициентами в пространстве; находить общее решение линейного уравнения в частных производных второго порядка. |
Пространство интегрируемых функций | Знать: определение ядра усреднения; определение срезающей функции; формулировку теоремы о разбиении единицы; определение пространства интегрируемых функций; формулировку теоремы о непрерывности интегрируемых функций в среднеквадратичном; формулировку теоремы об усреднении интегрируемой функции; свойства пространства интегрируемых функций. Уметь: строить примеры срезающих функций; доказывать теоремы о разбиении единицы, о непрерывности интегрируемых функций в среднеквадратичном, об усреднении интегрируемой функции; доказывать свойства пространства интегрируемых функций. | Знать: формулировку теоремы о разбиении единицы; определение пространства интегрируемых функций; формулировку теоремы о непрерывности интегрируемых функций в среднеквадратичном; формулировку теоремы об усреднении интегрируемой функции; Уметь: строить примеры срезающих функций; доказывать свойства пространства интегрируемых функций (гильбертовость, сепарабельность, всюду плотность пространства бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в пространстве интегрируемых функций). |
Обобщенные производные и конечные разности | Знать: определение обобщенной производной; формулировку теоремы о единственности обобщенной производной; формулировку теоремы о независимости обобщенной производной от порядка дифференцирования; свойства обобщенных производных; необходимое и достаточное условие равенства функции константе почти всюду в ограниченной области; определение конечно-разностных отношений. Уметь: доказывать теоремы о единственности обобщенной производной, о независимости обобщенной производной от порядка дифференцирования; производить усреднение обобщенных производных; аппроксимировать обобщенные производные финитных функций конечноразностными отношениями; аппроксимировать обобщенные производные функций с носителем вблизи границы конечноразностными отношениями. | Знать: определение обобщенной производной; формулировку теоремы о единственности обобщенной производной; формулировку теоремы о независимости обобщенной производной от порядка дифференцирования; свойства обобщенных производных; необходимое и достаточное условие равенства функции константе почти всюду в ограниченной области; Уметь: вычислять обобщенную производную для функций аппроксимировать обобщенные производные финитных функций конечноразностными отношениями; аппроксимировать обобщенные производные функций с носителем вблизи границы конечноразностными отношениями. |
Пространства Соболева | Знать: определение пространства Соболева формулировку теоремы о полноте; свойства пространств Соболева; формулировки теорем о продолжении функций (в кубе, в ограниченной области с гладкой границей); формулировку теоремы о всюду плотности пространства бесконечно дифференцируемых функций в пространстве Соболева; определение следа функции; определение пространства формулировку теоремы об эквивалентном определении пространства формулировку теоремы об эквивалентном скалярном произведении в определение непрерывности вложения; формулу эквивалентной нормы в пространстве Соболева, определяемой через преобразование Фурье; формулировку теоремы вложения Соболева; определение и свойства анизотропных пространств Соболева. Уметь: доказывать теорему о полноте; доказывать свойства пространств Соболева; доказывать теоремы о продолжении функций (в кубе, в ограниченной области с гладкой границей); доказывать теорему о всюду плотности пространства бесконечно дифференцируемых функций в пространстве Соболева; доказывать сепарабельность пространства Соболева в случае ограниченной области с гладкой границей; доказывать компактность оператора вложения пространства Соболева в пространство интегрируемых функций; доказывать теорему об эквивалентном определении пространства доказывать теорему об эквивалентном скалярном произведении в доказывать теорему вложения Соболева; доказывать свойства анизотропных пространств Соболева. | Знать: определение пространства Соболева свойства пространств Соболева; формулировки теорем о продолжении функций; формулировку теоремы о всюду плотности пространства бесконечно дифференцируемых функций в пространстве Соболева; определение пространства характеристическое свойство пространства формулу эквивалентного скалярного произведения в формулу эквивалентной нормы в пространстве Соболева, определяемой через преобразование Фурье; формулировку теоремы вложения Соболева; определение и свойства анизотропных пространств Соболева. Уметь: доказывать свойства пространств Соболева; доказывать теорему о всюду плотности пространства бесконечно дифференцируемых функций в пространстве Соболева; доказывать компактность оператора вложения пространства Соболева в пространство интегрируемых функций; доказывать теорему об эквивалентном скалярном произведении в доказывать свойства анизотропных пространств Соболева; исследовать функцию на принадлежность пространству Соболева |
Некоторые сведения из теории линейных функционалов и операторов в гильбертовых пространствах | Знать: формальное построение интеграла Фурье; условие Дини; определение преобразования Фурье и его свойства; преобразование Фурье быстро убывающих функций и преобразование Фурье свертки; формулировку теоремы Планшереля; теорему о существовании счетного ортонормированного базиса в сепарабельном гильбертовом пространстве; определение спектра оператора (точечного, непрерывного, остаточного). Уметь: представлять заданную функцию в виде интеграла Фурье; выводить формулу преобразования Фурье; вычислять преобразование Фурье заданной функции; формулировать теоремы Рисса, Фредгольма, Гильберта–Шмидта и теорему о спектре компактного оператора. | Знать: формальное построение интеграла Фурье; определение преобразования Фурье и его свойства; преобразование Фурье быстро убывающих функций и преобразование Фурье свертки; формулировку теоремы Планшереля; формулировку теорем Рисса, Фредгольма и Гильберта–Шмидта. Уметь: записывать условие Дини; представлять заданную функцию в виде интеграла Фурье; выводить формулу преобразования Фурье; вычислять преобразование Фурье заданной функции. |
Разрешимость задачи Дирихле и задачи Неймана для уравнения Пуассона | Знать: постановку задачи Дирихле для уравнения Пуассона; определение классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона; определение обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона; условия существования и единственности обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона; алгоритм нахождения решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона с помощью разложения в ряд по собственным функциям; формулу интегрирования по частям; условия Фредгольмовой разрешимости задачи Дирихле для уравнения Пуассона; постановку проблемы минимума квадратичного функционала; метод Ритца; вариационный метод решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона; постановку задачи Неймана для уравнения Пуассона; определение обобщенного и классического решения задачи Неймана для уравнения Пуассона. Уметь: решать задачу Дирихле для уравнения Пуассона; формулировать и доказывать теоремы о существовании и единственности обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона; оперировать с собственными значениями и собственными функциями эллиптических задач; находить решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона с помощью разложения в ряд по собственным функциям; доказывать формулу интегрирования по частям; доказывать существование и единственность минимизирующего элемента для квадратичного функционала; доказывать необходимое и достаточное условие существования обобщенного решения задачи Неймана для уравнения Пуассона; находить собственные значения и собственные функции оператора Лапласа с условиями Неймана. | Знать: постановку задачи Дирихле для уравнения Пуассона; определение классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона; определение обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона; алгоритм нахождения решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона с помощью разложения в ряд по собственным функциям; формулу интегрирования по частям; вариационный метод решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона; постановку задачи Неймана для уравнения Пуассона; определение обобщенного и классического решения задачи Неймана для уравнения Пуассона. Уметь: решать задачу Дирихле для уравнения Пуассона; формулировать теоремы о существовании и единственности обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона; оперировать с собственными значениями и собственными функциями эллиптических задач; находить решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона с помощью разложения в ряд по собственным функциям; доказывать формулу интегрирования по частям; формулировать необходимое и достаточное условие существования обобщенного решения задачи Неймана для уравнения Пуассона; находить собственные значения и собственные функции оператора Лапласа с условиями Неймана; решать краевую задачу для уравнения Пуассона в прямоугольнике; решать краевую задачу для уравнения Пуассона в круге (секторе). |
Обобщенные и классические решения эллиптических задач, гладкость решений. | Знать: формулировки теорем о гладкости обобщенных решений эллиптических задач внутри области; формулировки теорем о гладкости обобщенных решений эллиптических задач вблизи границы; формулировки теорем о гладкости обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона (локально и в замыкании области); связь между обобщенными и классическими решениями задачи Дирихле для уравнения Пуассона; формулу Грина; формулировки теорем об интегральном представлении функций; формулировки первой и второй теорем о среднем; формулировку принципа максимума. Уметь: доказывать теоремы о гладкости обобщенных решений эллиптических задач внутри области; обобщать результаты на случай доказывать теоремы о гладкости обобщенных решений эллиптических задач вблизи границы; обобщать результаты на случай доказывать теоремы о гладкости обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона (локально и в замыкании области); доказывать утверждения о гладкости обобщенных собственных функций задачи Дирихле для уравнения Пуассона; доказывать утверждения о гладкости обобщенных решений задачи Неймана для уравнения Пуассона (внутри области и вблизи границы) и следствия из этих результатов; выводить формулу Грина; доказывать результат об интегральном представлении функций; доказывать первую и вторую теоремы о среднем; доказывать принцип максимума; доказывать единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. | Знать: формулировки теорем о гладкости обобщенных решений эллиптических задач внутри области и вблизи границы; формулировки теорем о гладкости обобщенного решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона (локально и в замыкании области); формулу Грина; формулировки теорем об интегральном представлении функций; формулировки первой и второй теорем о среднем; формулировку принципа максимума. Уметь: выводить формулу Грина; доказывать результат об интегральном представлении функций; доказывать первую и вторую теоремы о среднем; доказывать единственность классического решения задачи Дирихле для уравнения Пуассона. решать краевую задачу для оператора Лапласа при помощи функции Грина. |
Эволюционные уравнения | Знать: алгоритм формального решения смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье; формулировки теорем о существовании и единственности обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения; представление решения смешанной задачи для волнового уравнения в виде ряда; априорную оценку решения; алгоритм формального решения смешанных задач для уравнения теплопроводности методом Фурье; формулировки теорем о существовании и единственности обобщенного решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности; метод Галеркина; формулы Кирхгофа, Пуассона и Даламбера; метод спуска; формулировку теоремы о существовании и единственности классического решения задачи Коши для волнового уравнения; алгоритм решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Уметь: строить формальное решение смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье; представлять решение в виде ряда; доказывать существование и единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для волнового уравнения; доказывать априорную оценку решения; строить формальное решение смешанных задач для уравнения теплопроводности методом Фурье; доказывать существование и единственность обобщенного решения первой смешанной задачи для уравнения теплопроводности; решать смешанные задачи для волнового уравнения и уравнения теплопроводности методом Галеркина; доказывать формулу Кирхгофа; доказывать формулы Пуассона и Даламбера методом спуска; доказывать существование и единственность классического решения задачи Коши для волнового уравнения; решать задачу Коши для уравнения теплопроводности. | Знать: алгоритм формального решения смешанных задач для волнового уравнения методом Фурье; представление решения смешанной задачи для волнового уравнения в виде ряда; априорную оценку решения; алгоритм формального решения смешанных задач для уравнения теплопроводности методом Фурье; метод Галеркина; формулы Кирхгофа, Пуассона и Даламбера; формулировку теоремы о существовании и единственности классического решения задачи Коши для волнового уравнения; алгоритм решения задачи Коши для уравнения теплопроводности. Уметь: решать смешанную задачу для гиперболического уравнения; решать смешанную задачу для параболического уравнения; решать смешанные задачи для волнового уравнения и уравнения теплопроводности методом Галеркина; формулировать основную идею метода спуска; решать задачу Коши для волнового уравнения; решать задачу Коши для уравнения теплопроводности; исследовать область зависимости решения волнового уравнения от начальных данных и правой части уравнения. |
Теория полугрупп и ее приложения | Знать: примеры задач, порождающих полугруппы; определения равномерно непрерывной полугруппы, генератора полугруппы; формулировки теорем о генераторе полугруппы; определение сильно непрерывной полугруппы; оценку на рост полугруппы; формулировки теорем о генераторе сильно непрерывной полугруппы; определение сжимающего оператора; определение резольвенты и резольвентного множества; формулировку теоремы Хилле-Иосиды; следствия из теоремы Хилле-Иосиды; способ решения задачи Коши для операторно-дифференциальных уравнений методом полугрупп; способ решения смешанных задач для параболических дифференциальных уравнений методом полугрупп; способ решения задачи Коши для уравнения диффузии методом полугрупп. Уметь: строить примеры задач, порождающих полугруппы; доказывать теоремы о генераторе полугруппы; определять, является ли оператор генератором полугруппы; доказывать оценку на рост полугруппы; доказывать теоремы о генераторе сильно непрерывной полугруппы; определять, является ли оператор генератором сильно непрерывной полугруппы; доказывать теорему Хилле-Иосиды и следствия из нее; формулировать и доказывать теоремы о решение задачи Коши для операторно-дифференциальных уравнений методом полугрупп; формулировать и доказывать теоремы о решении смешанных задач для параболических дифференциальных уравнений методом полугрупп; формулировать и доказывать теоремы о решении задачи Коши для уравнения диффузии методом полугрупп. | Знать: примеры задач, порождающих полугруппы; определения равномерно непрерывной полугруппы, генератора полугруппы; формулировки теорем о генераторе полугруппы; определение сильно непрерывной полугруппы; определение сжимающего оператора; определение резольвенты и резольвентного множества; формулировку теоремы Хилле-Иосиды; Уметь: строить примеры задач, порождающих полугруппы; определять, является ли оператор генератором полугруппы; определять, является ли оператор генератором сильно непрерывной полугруппы; вычислять матричную экспоненту; решать начально-краевую задачу для волнового уравнения на полуоси. |
, 
и других;
;Описание количественных оценок с указанием соответствия баллов достигнутому уровню знаний, навыков и умений студента по каждому изучаемому разделу (теме) (в соответствии с приказом ректора № 000 от 01.01.01 г.)
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 |
Основные порталы (построено редакторами)