Уравнения математической физики (стр. 1 ) | Авторская платформа Pandia.ru

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

ПРОГРАММА

Наименование дисциплины:

УРАВНЕНИЯ МАТЕМАТИЧЕСКОЙ ФИЗИКИ

Рекомендуется для направления подготовки (специальности):

010100.62 Математика

Квалификация (степень) выпускника: бакалавр

Скубачевский Александр Леонидович

д. ф.-м. н., профессор

Кафедра прикладной математики

1. Цели и задачи дисциплины:

Познакомить студентов с фундаментальными понятиями из области уравнений в частных производных – пространствами интегрируемых и дифференцируемых функций, пространствами Соболева и другими функциональными пространствами. Изложить основополагающие подходы к решению задач для уравнений в частных производных, порожденных практическими проблемами и применяемых в математической физике, современных инженерных и междисциплинарных исследованиях. Изложить основные методы решения различных задач для уравнений в частных производных – краевых задач для эллиптических уравнений, смешанных задач и задачи Коши для эволюционных уравнений. Познакомить студентов с основами теории полугрупп и ее применением к решению задач математической физики.

2. Место дисциплины в структуре ООП:

Б.3. Профессиональный цикл. Вариативная часть.

Необходимо знание линейной алгебры, математического анализа, теории функций действительной и комплексной переменной, обыкновенных дифференциальных уравнений. Дисциплина является предшествующей к курсам «Концепции современного естествознания», «Полугруппы операторов», «Групповой анализ дифференциальных уравнений».

Является завершающей для математических дисциплин: математический анализ, комплексный анализ, обыкновенные дифференциальные уравнения.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Компетенции: ПК-1-10, 13, 14, 16, 25, 26, 29.

3. Требования к результатам освоения дисциплины:

Процесс изучения дисциплины направлен на формирование следующих компетенций:

- определение общих форм, закономерностей и инструментальных средств отдельной предметной области (ПК1),

- умение понять поставленную задачу (ПК2),

- умение формулировать результат (ПК3),

- умение строго доказать утверждение (ПК4),

- умение на основе анализа увидеть и корректно сформулировать результат (ПК5),

- умение самостоятельно увидеть следствия сформулированного результата (ПК6),

- умение грамотно пользоваться языком предметной области (ПК7),

- умение ориентироваться в постановках задач (ПК8),

- знание корректных постановок классических задач (ПК9),

- понимание корректности постановок задач (ПК10),

- глубокое понимание точности фундаментального знания (ПК13),

- контекстная обработка информации (ПК14),

- выделение главных смысловых аспектов в доказательствах (ПК 16),

- умение самостоятельно математически корректно ставить естественнонаучные и инженерно-физические задачи (ПК25),

- обретение опыта самостоятельного различения типов знания (ПК26),

- возможность преподавания физико-математических дисциплин и информатики в средней школе и средних специальных образовательных учреждениях на основе полученного фундаментального образования (ПК29).

В результате изучения дисциплины студент должен:

Знать:

Понятия пространства интегрируемых функций, дифференцируемых функций, пространств Соболева, анизотропных пространств Соболева, нормы, эквивалентной нормы, эквивалентного скалярного произведения. Постановку задач математической физики, классификацию уравнений в частных производных. Метод Ритца, метод Галеркина, метод разложения в ряд Фурье, метод теории полугрупп применительно к задачам математической физики. Разрешимость и свойства решений основных классов задач математической физики.

Уметь:

Решать различными методами (метод Галеркина, метод Ритца, метод разложения в ряд Фурье, метод теории полугрупп) начальные, краевые, смешанные задачи и задачу Коши для эллиптических, гиперболических и параболических уравнений. Решать задачи на собственные функции и собственные значения для уравнений в частных производных. Определять, принадлежит ли функция определенному пространству. Строить примеры функций, (не)принадлежащих определенным пространствам и (не)удовлетворяющих определенным условиям. Доказывать (не)компактность вложения различных функциональных пространств.

Владеть:

Основными понятиями и основными аналитическими и качественными методами теории уравнений математической физики.

4. Объем дисциплины и виды учебной работы

Общая трудоемкость дисциплины составляет 9 зачетных единиц (11 зачетных единиц при выборе курсовой работы по данной дисциплине).

Вид учебной работы	Всего часов	Семестры
5	6
Аудиторные занятия (всего)	198	108	90
В том числе:	-	-	-
Лекции	90	54	36
Практические занятия (ПЗ)	108	54	54
Семинары (С)
Лабораторные работы (ЛР)
Самостоятельная работа (всего)	110 (182 при наличии курсовой работы)	64	46 (118 при наличии курсовой работы)
В том числе:	-	-	-
Курсовой проект (работа) /по выбору студента/	72		72
Расчетно-графические работы
Реферат
Другие виды самостоятельной работы	110	64	46

Вид промежуточной аттестации (зачет, экзамен)	16	8	8
Общая трудоемкость, час.	324 (396 при наличии курсовой работы)	180	144 (216 при наличии курсовой работы)
Общая трудоемкость, зач. ед.	9 (11 при наличии курсовой работы)	5	4 (6 при наличии курсовой работы)

5. Содержание дисциплины

5.1. Содержание разделов дисциплины

Курс состоит из 4 разделов.

Раздел 1. Функциональные пространства и задачи математической физики.

Подраздел 1. Введение в уравнения с частными производными, постановка задач математической физики.

Основные определения и обозначения, используемые в курсе уравнений математической физики. Носитель функции. Классификация линейных уравнений в частных производных второго порядка. Примеры уравнений в частных производных различных классов. Матрица перехода и трансформация уравнения при замене системы координат. Задача Коши для волнового уравнения. Задача Коши для уравнения теплопроводности. Смешанные задачи для волнового уравнения. Смешанные задачи для уравнения теплопроводности. Краевые задачи для уравнения Пуассона.

Подраздел 2. Пространство интегрируемых функций.

Ядро усреднения. Срезающие функции. Разбиение единицы. Теорема о разбиении единицы. Определение пространства интегрируемых функций. Теорема о непрерывности интегрируемых функций в среднеквадратичном. Средние функции (усреднения). Теорема об усреднении интегрируемой функции. Свойства пространства интегрируемых функций (гильбертовость, сепарабельность, всюду плотность пространства бесконечно дифференцируемых функций с компактным носителем в пространстве интегрируемых функций).

Подраздел 3. Обобщенные производные и конечные разности.

Определение обобщенной производной. Теорема о единственности обобщенной производной. Теорема о независимости обобщенной производной от порядка дифференцирования. Вычисление обобщенной производной для функций и . Свойства обобщенных производных. Усреднение обобщенных производных. Необходимое и достаточное условие равенства функции константе почти всюду в ограниченной области.

Определение конечно-разностных отношений. Аппроксимация обобщенных производных финитных функций конечноразностными отношениями. Аппроксимация обобщенных производных функций с носителем вблизи границы конечноразностными отношениями.

Подраздел 4. Пространства Соболева.

Определение пространства Соболева . Скалярное произведение и норма в . Теорема о полноте. Свойства пространств Соболева. Теоремы о продолжении функций (в кубе, в ограниченной области с гладкой границей). Теорема о всюду плотности пространства бесконечно дифференцируемых функций в пространстве Соболева. Сепарабельность пространства Соболева в случае ограниченной области с гладкой границей. Компактность оператора вложения пространства Соболева в пространство интегрируемых функций.

След функции. Определение пространства как замыкания множества финитных бесконечно дифференцируемых функций в . Теорема об эквивалентном определении через следы (характеристическое свойство). Теорема об эквивалентном скалярном произведении.