Уравнения математической физики (стр. 4 ) | Авторская платформа Pandia.ru

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

1) Преобразованием Гильберта функции называется функция

Доказать, что есть изометрия пространства , причем .

2) Пусть - оператор, восстанавливающий гармоническую функцию в единичном круге по её значению на . Доказать, что

есть ограниченный оператор при .

3) Распределение имеет компактный носитель , а его преобразование Фурье - ограниченная функция. Показать, что для всякого полинома , обращающегося в ноль на .

4.а) Пусть , . Показать, что и преобразование Фурье служит фундаментальным решением для оператора в . Найти отсюда .

4.б) Найти фундаментальное решение для оператора в .

5) Пусть - единичный круг на плоскости, а - окружность радиуса с центром в начале координат. Показать, что задача Дирихле для уравнения Пуассона в имеет единственное обобщенное решение , где - распределение, заданное соотношением

Найти это решение.

6) Показать, что первое собственное значение первой краевой задачи для оператора Лапласа в ограниченной области , , однократно, а соответствующая ему собственная функция не обращается в области в ноль.

7) Обозначим через ( - граница -мерной области ) подпространство функций с нулевым средним. Для любой функции существует единственное обобщенное решение задачи Неймана для уравнения Лапласа в с граничной функцией , след которого на равен , . Таким образом, на задан линейный оператор . Показать, что оператор имеет дискретный спектр, его собственные значения , , положительны, а собственные функции образуют ортонормированный базис пространства . Найти собственные значения и собственные функции оператора в случае, когда - единичный круг на плоскости.

8) Найти

где , , .

9.а) Пусть

Доказать, что для любой постоянной найдутся такая ограниченная область и такая функция , что

9.б) Справедливо ли неравенство Фридрихса в полосе

10) Пусть - полярные координаты на плоскости. В зависимости от значения параметра исследовать разрешимость краевой задачи для уравнения Пуассона в круге с правой частью из .

11) Найти минимум квадратичного функционала

на пространстве , где , . Считаем при .

9. Учебно-методическое и информационное обеспечение дисциплины:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

а) основная литература:

1. П. Дифференциальные уравнения в частных производных. – М.: Наука. – 1976.

2. Ладыженская. О. А. Краевые задачи математической физики. – М.: Наука. – 1973.

3. Г. Линейные уравнения в частных производных. – М.: Высшая школа. – 1977.

4. С. (ред). Сборник задач по уравнениям математической физики. Издание третье. – М.: Физматлит. – 2001.

5. С. (ред.) Сборник задач по уравнениям с частными производными. – М.: Бином. – 2005.

б) дополнительная литература:

1. Функциональный анализ. – М.: Мир. – 1967.

2. Функциональный анализ. – М.: Мир. – 1975.

3. Шварц Дж. Т. Линейные операторы (в 3-х томах). Том 2 (гл. 14). – М.: Мир – 1966.

4. Pazy A. Semigroups of linear operators and applications to partial differential equations. – New York-Berlin-Heidelberg: Springer. – 1983.

Вся литература есть в библиотеке РУДН и в электронном виде на кафедре.

в) программное обеспечение:

OS Windows, Microsoft Office, Maple, TeX, WinEdt

г) базы данных, информационно-справочные и поисковые системы:

Google, Yandex, Nigma, MathNet.

10. Материально-техническое обеспечение дисциплины:

Лекционная аудитория и аудитории для практических занятий в учебном корпусе факультета физико-математических и естественных наук РУДН, (ауд. 398, 399 и т. п.)

Ноутбук – 1 шт., мультимедийный проектор – 1шт., экран – 1шт.

11. Методические рекомендации по организации изучения дисциплины:

Курс рассчитан на 198 аудиторных часов и 110 часов самостоятельной работы. Обязательная дисциплина, привязанная к семестрам.

Трудоемкость:

5-й семестр – 5 кредитов, 3 часа лекций и 3 часа практических занятий в неделю, 100 часов самостоятельной работы за семестр;

6-й семестр – 4 кредита, 2 часа лекций и 3 часа практических занятий в неделю, 10 часов самостоятельной работы за семестр.

На СРС выносятся еженедельные домашние задания, состоящие из контрольных теоретических вопросов и задач по текущей теме. Результаты выполнения домашних заданий и активность на практических занятиях входят в балльно-рейтинговую систему оценки знаний.

Текущие контроли проводятся в форме 4 письменных контрольных работ, в конце каждого семестра проводится письменный итоговый контроль.

Для наглядности изложения абстрактного материала разработаны и используются на лекциях компьютерные презентации по темам:

1. Метод Фурье в начально-краевых задачах для волновых уравнений.

2. Метод Фурье в начально-краевых задачах для уравнений теплопроводности.

3. Метод Галеркина для волновых уравнений и уравнений теплопроводности.

4. Формулы Даламбера и Пуассона для решений задач Коши для волновых уравнений и уравнений теплопроводности.

5. Моделирование автоволновых процессов в нелинейных оптических системах.

Методика выставления оценок соответствует балльно-рейтинговым системам оценки знаний студентов РУДН по теоретическим дисциплинам.

Разработчик,

заведующий кафедрой прикладной математики,

д. ф.-м. н., профессор А. Л. Скубачевский

Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4