Лекционный комплекс (стр. 10 ) | Авторская платформа Pandia.ru

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

4. Если контур интегрирования «К» разбит на две части K1 и К2, тогда:

4. Иллюстративный материал:

Презентация, слайды.

5. Литература:

Л. Высшая математика. Минск. ”Высшая школа”. 1987г.

И. Высшая математика. “Просвещение”, 1980г.

Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.,”Высшая школа”, издание 5.

Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. “Высшая школа”, изд.3.

К. и др. Актобе, 2005

Е. Медициналық статистика, Шымкент,1999 ж.

Қ. Қабдықайыр. Жоғары математика, Алматы, «Қазақ университеті», 2004.

6. Контрольные вопросы (обратной связи):

1. Какие интегралы называются криволинейными интегралами первого рода?
2. Назовите основные свойства криволинейного интеграла первого рода?

ЛЕКЦИЯ №5

1. Тема:

Криволинейный интеграл второго рода и их основные свойтсва.

2. Цель: Объяснить студентам теорию криволинейных интегралов второго рода.

План лекции:

1. Криволинейный интеграл по координатам (криволинейный интеграл II рода).

2. Основные свойства криволинейного интеграла II рода

3. Тезисы лекции:

Функции Р(х, у) и Q(х, у) непрерывны в точках дуги «АВ» гладкой кривой «К», имеющей уравнение у = φ(х) (a≤x ≤ у).
Интегральной суммой для функций Р(х, у) и Q(х, у) по координатам называется сумма:

где ∆хк и ∆ук — проекции элементарной дуги на оси «Ох» и «Оу».

Криволинейным интегралом
II рода от выражения Р(х, у)dx + Q(х, y)dy
по направленной дуге «АВ» называется предел интегральной суммы при условии, что
mах ∆хk→0 и mах ∆yk→0:

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

Криволинейный интеграл II рода есть работа, совершаемая переменной силой F= P(x, y)i + Q(x, у) j на криволинейном пути «АВ» (механическое истолкование).

Основные свойства криволинейного интеграла второго рода:

1. Криволинейный интеграл II рода меняет свой знак на противоположный при изменении направления пути интегрирования:

Остальные свойства аналогичны свойствам интеграла I рода.

Криволинейный интеграл II рода вычисляется по формуле:

Вычислить:

где «К» - отрезок прямой от А(0; 0) до В (4;3).
Решение. Уравнение прямой от «АВ» имеет вид у = (3/4) х. Находим пройзводные: у' = 3/4, следовательно:

4. Иллюстративный материал:

Презентация, слайды.

5. Литература:

Л. Высшая математика. Минск. ”Высшая школа”. 1987г.

И. Высшая математика. “Просвещение”, 1980г.

Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.,”Высшая школа”, издание 5.

Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. “Высшая школа”, изд.3.

К. и др. Актобе, 2005

Е. Медициналық статистика, Шымкент,1999 ж.

Қ. Қабдықайыр. Жоғары математика, Алматы, «Қазақ университеті», 2004.

6. Контрольные вопросы (обратной связи):

1. Какие интегралы называются криволинейными интегралами второго рода?
2. Назовите основные свойства криволинейного интеграла второго рода?

ЛЕКЦИЯ №6

1. Тема:

Основные понятия о числовых рядах. Степенные ряды.

2. Цель: Объяснить студентам основные понятия о числовых рядах.

План лекции:

1. Основные понятия о числовых рядах.
2. Основные теоремы о сходящихся числовых рядах.
3. Важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами.
4. Степенные ряды.

3. Тезисы лекции:

Пусть u1,u2, u3, …,un,…, где un= f(n) -бесконечная числовая последовательность.
Выражение:
u1+u2 +u3+ …+un +… - называется бесконечным числовым рядом, а числа u1,u2, u3, …,un – членами ряда.
un = f(n) называется общим членом.
Ряд записывают в виде:

Сумму первых «n» членов числового ряда обозначают через «Sn» и называют «n» частичной суммой ряда:
Sn = u1+u2 +u3+ …+un.

Ряд называется сходящимся, если его «n»-я частичная сумма «Sn» при неограниченном возрастании «n» стремится к конечному пределу:

Число «S» называют суммой ряда. Если же «n»-я частичная сумма ряда при n→∞ не стремится к конечному пределу, то ряд называют расходящимся.

Ряд:
a + aq + aq2 +…aqn-1+ …
составленный из членов любой убывающей геометрической прогрессии, является сходящимся и имеет сумму a/(1—q).
Ряд:

называемый гармоническим, расходится.

Основные теоремы о сходящихся числовых рядах:

Если сходится ряд:
u1+u2 +u3+ … ,
то сходится и ряд:
um+1+um+2 +um+3+ …

2. Если сходится ряд:
u1+u2 +u3+ … и суммой его является число «S», то сходится и ряд:
au1+au2 +au3+ … причем сумма последнего ряда равна «aS».

3. Если сходятся ряды:
u1+u2 +u3+ … , v1+v2 +v3+ …,
имеющие соответственно суммы «S » и «σ»,
то сходится и ряд:
(u1+ v1) + (u2+ v2) + (u3+ v3) + … ,
причем сумма последнего ряда равна «S + σ».

4. Если ряд
u1+u2 +u3+ … сходится:

т. е. при n→∞ предел общего члена сходящегося ряда равен нулю – необходимый признак сходимости ряда.
Если: то ряд расходится.

Важнейшие признаки сходимости и расходимости рядов с положительными членами:

1. Первый признак.
Пусть даны два ряда с положительными членами:
(1) u1+u2 +u3+ …+un +…
(2) v1+v2 +v3+ …+vn +…
причем каждый член ряда (1) не превосходит соответствующего члена ряда (2), т. е. un ≤ vn (n=1, 2, 3, ...).
Если сходится ряд (2), то сходится и ряд (1);
Если расходится ряд (1), то расходится и ряд (2).

2. Второй признак.
Если существует конечный и отличный от нуля предел:

то оба ряда одновременно

сходятся или одновременно расходятся.

3. Признак Коши.
Если для ряда u1+u2 +u3+ …+un +…
существует предел:
то этот ряд сходится при С < 1 и расходится при С > 1.

4. Признак Даламбера.
Если для ряда u1+u2 +u3+ …+un +…
существует предел:

то этот ряд сходится при D < 1 и расходится при D > 1.

5. Интегральный признак.
Если f(x) при х≥1 - непрерывная, положительная и монотонно убывающая функция, то ряд:

где un=f(n), сходится или расходится в зависимости от того, сходится или расходится интеграл:

Пример. Дан общий член ряда:

Написать первые четыре члена ряда.
Решение.
Если n=1, то u1=1/11; если n = 2, то
u2 = 2/101; если n = 3,
то uз = 3/1001; если n = 4, то u4 = 4/10001;
Ряд можно записать в виде:

Степенные ряды:

Функциональный ряд вида:
ao + a1(х-a) + a2 (x-a)2 + ...+an(х-a)n + ... ,
где a, а0, a1, …, аn - действительные числа, называется степенными.

Основное свойство степенных рядов состоит в том, что если степенной ряд сходится при х=х0, то он сходится при всяком значении «х», удовлетворяющем неравенству |х-a | < |х0-а| (теорема Абеля).

Одним из следствий теоремы Абеля является факт существования для всякого степенного ряда интервала сходимости |х-а |< R, или
а-R < х < a+R с центром в точке «а», внутри которого степенной ряд абсолютно сходится и вне которого он расходится.
На концах интервала сходимости (в точках
x=a±R) различные степенные ряды ведут себя поразному: одни сходятся абсолютно на обоих концах, другие - либо условно сходятся на обоих концах, либо на одном из них условно сходятся, на другом расходятся, третьи - расходятся на обоих концах.

Число «R» - половина длины интервала сходимости — называется радиусом сходимости степенного ряда.
В частных случаях радиус сходимости ряда «R» может быть равен нулю или бесконечности.
Если «R» = 0, то степенной ряд сходится лишь при х = а.
Если R = ∞ , то ряд сходится на всей числовой оси.

Для отыскания интервала и радиуса сходимости степенного ряда можно пользоваться одним из следующих способов:

1. Если среди коэффициентов ряда: а1, а2, ... , аn, ряд содержит все целые положительные степени разности х-a, тогда: