Лекционный комплекс (стр. 8 ) | Авторская платформа Pandia.ru

Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто

30% recurring commission
Выплаты в USDT
Вывод каждую неделю
Комиссия до 5 лет за каждого referral

1. Вычисление площадей плоских фигур.

2. Работа переменной силы.

3. Тезисы лекции:

Вычисление площадей плоских фигур

Функция у = f(х) непрерывна на отрезке
[а, b].

Если f(x)>0, то площадь криволинейной трапеции, ограниченной линиями у = f(х),
у = 0, х = а, х = b, численно равна интегралу:

Пример. Определить площадь плоской фигуры, ограниченной синусоидой у = sin х и осью Ох при условии 0≤x ≤2π.

Решение: Разобьем отрезок [0, 2π] на два отрезка [0, π] и [π, 2π].
На отрезке [0, π] sin x≥0 следовательно:

На отрезке [π, 2π] sin x≤0, следовательно:

Искомая площадь S = S1 + S1 = 2 + 2 = 4 кв. ед.

Работа переменной силы

Тело движется по прямой «MN» под действием переменной силы F=f(s). Направление силы совпадает с направлением движения. Требуется определить работу, производимую силой при перемещении тела из положения «М» в положение «N». Разобьем путь «MN» точками s0=0, s1, s2, …, sn-1, sn = S на «n» элементарных отрезков
В каждом элементарном отрезке выберем точку σi (i=0, 1, 2, …, n) при этом, сила f(σi) на каждом элементарном отрезке постоянна.

Тогда произведение f(σi) ∆si будет приближенно равно работе силы на пути ∆si.

Сумма работ на элементарных отрезках:

Пример:
Вычислить работу, совершенную одним молем идеального газа при обратимом изотермическом расширении от 2,24 · 10-3 до 22,4 · 10-3 м3 при t = 0°С.
Решение.
При обратимом расширении одного моля идеального газа давление p = RT/V. Совершаемая газом при изменении объема на величину dV элементарная работа dA = pdV. Полная работа расширения газа от начального объема V1 до конечного объема V2.

НЕ нашли? Не то? Что вы ищете?

4. Иллюстративный материал: Презентация, слайды.

5. Литература:

1. Л. Высшая математика. Минск. ”Высшая школа”. 1987г.

2. И. Высшая математика. “Просвещение”, 1980г.

3. Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.,”Высшая школа”, издание 5.

4. Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. “Высшая школа”, изд.3.

5. К. и др. Актобе, 2005

6. Е. Медициналық статистика, Шымкент,1999 ж.

7. Қ. Қабдықайыр. Жоғары математика, Алматы, «Қазақ университеті», 2004.

6. Контрольные вопросы (обратной связи):

1. Как вычисляется площадь плоских фигур?
2. Как вычисляется работа переменной силы?

Южно-Казахстанская государственная фармацевтическая академия

Кафедра медицинской биофизики и информационных технологий

ЛЕКЦИОННЫЙ КОМПЛЕКС

Дисциплина: Математика. Часть 2.

Код дисциплины: Мат-1211

Специальность: 5В074800 - «Технология фармацевтического производства»

Объем учебных часов (кредитов) 135

Курс 1 Семестр 2

Лекции __15____ (часов)

2016-2017 учебный год

ЛЕКЦИЯ №1

1. Тема:

Дифференциал функции нескольких переменных.

2. Цель: Объяснить студентам понятие дифференциала функции нескольких переменных.

План лекции:

1.Понятие функции нескольких аргументов.

2.Полные и частные приращения функций двух аргументов.

3.Частные производные функции двух аргументов.

4. Частные производные высших порядков.

5. Частный и полный дифференциалы функций двух аргументов.

3. Тезисы лекции:

Понятие функции нескольких аргументов:

Большинство процессов, протекающих в окружающей нас природе, подчинены законам, выражающим зависимость между несколькими аргументами, один из которых функционально связан с остальными.
Например, площадь прямоугольника S=xy есть функция двух аргументов.
Объем прямоугольного параллелепипеда V=xyz является функцией трех аргументов.

Уравнение состояния газа pV = RT представляет зависимость между тремя аргументами: давлением «р», объемом «V» и температурой «Т» (R — универсальная газовая постоянная).
Любая физиологическая характеристика организма (давление, температура, рост и т. д.) является функцией многих аргументов. Например, температура «Т», измеряемая в различных точках тела, есть функция от координат точки, в которой она измеряется, и от момента времени «t»:
Т = f(x, у, z, t).

Для изучения таких зависимостей вводится понятие функции нескольких аргументов. Основные положения теории функций нескольких аргументов справедливы для функций двух аргументов.
Переменная «z» называется функцией двух аргументов «х» и «у», если некоторым парам значений (х, у) по какому-либо правилу или закону ставится в соответствие определенное значение «z».
Функция двух аргументов обозначается:
z = f(x, у).

Полные и частные приращения функций двух аргументов:

Пусть дана некоторая функция двух аргументов z = f(x, у). Дадим «х» и «у» приращения «∆х» и «∆у» и получим значение функции в точке:
(х+∆х; у+∆у).
Разность f(x+∆х, у+∆y) - f(x, у) называется полным приращением функции
z = f(x, у) и обозначается ∆f:
∆f = f (х+∆х, у+∆y) - f(x, у).

Если дадим приращение лишь одному аргументу, то функция z = f(x, у) получит частное приращение по этому аргументу.
Разность f(x+∆х, у) - f(x, у) называется частным приращением функции z = f(x, у) по аргументу «х»:
∆хf(x, у)= ∆xf = f(x+∆х, у) – f(x, у).
Разность ∆уf(x, y) = ∆уf = f(x, у+∆y) - f(x, у). называется частным приращением функции
z = f(x, у) по аргументу «у».

Частные производные функции двух аргументов:

Частной производной первого порядка функции z = f(x, у) по аргументу «х» в рассматриваемой точке (x;у) называется предел:

Частная производная функции z = f(x, у) по аргументу «х» обозначается:
z'x, fх '(x, у),
Аналогично частная производная по «у» обозначается:
z'y, fу '(х, у),

Так как частная производная - это обычная производная функции одного аргумента, то ее нетрудно вычислить. Для этого нужно пользоваться правилами дифференцирования, учитывая в каждом случае, какой из аргументов принимается за «постоянное число», а какой служит «переменной дифференцирования».
Замечание. Для нахождения частной производной, например по аргументу «x» - ∂f/∂x, достаточно найти производную функции f(x, у), считая «х» - функцией одного аргумента, а «у» - постоянной;
для нахождения ∂f/∂у - наоборот.

Частные производные высших порядков:

Функция f(x, у) имеет частные производные
первого порядка

Эти производные в свою очередь являются функциями аргументов «х» и «у». Частные производные этих функций называются частными производными второго порядка данной функции f(x, у).
Если существуют производные вторых производных, то они называются частными производными третьего порядка и т. д.

Частный и полный дифференциалы функций двух аргументов:

Функция z = f(x, у) имеет частные производные:
Произведение называют частным
дифференциалом функции f(x, у) по «х».
Произведение называют частным

дифференциалом функции f(x, у) по «у».

Сумму частных дифференциалов функции z = f(x, у) называют ее полным дифференциалом:

4. Иллюстративный материал:

Презентация, слайды.

5. Литература:

Л. Высшая математика. Минск. ”Высшая школа”. 1987г.

И. Высшая математика. “Просвещение”, 1980г.

Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.,”Высшая школа”, издание 5.

Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. “Высшая школа”, изд.3.

К. и др. Актобе, 2005

Е. Медициналық статистика, Шымкент,1999 ж.

Қ. Қабдықайыр. Жоғары математика, Алматы, «Қазақ университеті», 2004.

6. Контрольные вопросы (обратной связи):

1. Какие приращения называются частными приращениями функции двух аргументов?
2. В чем отличие частного дифференциала от производной функции двух аргументов?

ЛЕКЦИЯ №2

1. Тема:

Двойной интеграл и их основные свойства.

2. Цель:

Объяснить студентам понятие двойного интеграла.

План лекции:

1. Понятие двойного интеграла.

2. Интегральная сумма.

3. Основные свойства двойного интеграла.