Партнерка на США и Канаду по недвижимости, выплаты в крипто
- 30% recurring commission
- Выплаты в USDT
- Вывод каждую неделю
- Комиссия до 5 лет за каждого referral
4. Правила вычисления двойных интегралов.
3. Тезисы лекции:
Пусть функция f(х, у) определена в ограниченной замкнутой области «D» плоскости Оху.
Разобьем область «D» произвольным образом на «n» элементарных областей, имеющих площади ∆σ1, ∆σ2, ..., ∆σn и диаметры d1, d2, … , dn. Диаметром области называется наибольшее из расстояний между двумя точками границы этой области.
Выберем в каждой элементарной области произвольную точку Рk (ζk;ηk) и умножим значение функции в точке «Рk» на площадь этой области.
Интегральной суммой для функции f (х, у) по области «D» называется сумма:
Двойным интегралом от функции f(х, у) по области «D» называется предел интегральной суммы при условии, что наибольший из диаметров элементарных областей стремится к нулю:
Если функция f(х, у) непрерывна в замкнутой области «D», то предел интегральной суммы существует и не зависит от способа разбиения области «D» на элементарные и от выбора точек
Если f(х, у)>0 в области «D», то двойной интеграл
равен объему цилиндрического тела, ограниченного сверху поверхностью z = f(x, у), сбоку цилиндрической поверхностью с образующими, параллельными оси Oz, и снизу областью «D» плоскости хОу.
Основные свойства двойного интеграла:
4. Если область интегрирования «D» разбита на две области «D1» и «D2», то:
Правила вычисления двойных интегралов:
1. Область интегрирования «D» ограничена слева и справа прямыми х = а и х=b (а < b), а снизу и сверху - непрерывными кривыми y=φ1(x) и y=φ2(x) причем φ1(x) ≤ φ2(x),
каждая из которых пересекается вертикальной прямой только в одной точке.
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле:
причем, сначала вычисляется интеграл, 
в котором «х» считается постоянной.
2. Область интегрирования «D» ограничена снизу и сверху прямыми у=с и у=d (c<d),
а слева и справа - непрерывными кривыми
х= ψ1(у) и х = ψ2(у) причем ψ1(у)≤ ψ2(у),
каждая из которых пересекается горизонтальной прямой только в одной точке.
Для такой области двойной интеграл вычисляется по формуле:
причем, сначала вычисляется интеграл,
в котором «у» считается постоянной.
Правые части указанных формул называются двукратными или повторными интегралами.
1. Вычислить 
если область «D» - прямоугольник
0 ≤ x ≤ 4, 1 ≤ y ≤ e.
Решение:
4. Иллюстративный материал:
Презентация, слайды.
5. Литература:
Л. Высшая математика. Минск. ”Высшая школа”. 1987г.
И. Высшая математика. “Просвещение”, 1980г.
Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.,”Высшая школа”, издание 5.
Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. “Высшая школа”, изд.3.
К. и др. Актобе, 2005
Е. Медициналық статистика, Шымкент,1999 ж.
Қ. Қабдықайыр. Жоғары математика, Алматы, «Қазақ университеті», 2004.
6. Контрольные вопросы (обратной связи):
1. Что называем двойным интегралом?
2. Перечислите основные свойства двойного интеграла?
ЛЕКЦИЯ №3
1. Тема:
Тройной интеграл и их основные свойства.
2. Цель: Объяснить студентам понятие тройного интеграла.
План лекции:
1.Тройной интеграл.
2. Основные свойства тройных интегралов.
3. Тезисы лекции:
Функция f(х, у, z) определена в ограниченной замкнутой пространственной области «Т». Разобьем область «Т» произвольным образом на «n» элементарных областей T1, T2,…, Tn с диаметрами d1, d2,…, dn и объемами ∆V1, ∆V2,…, ∆Vn.
В каждой элементарной области возьмем произвольную точку Рk (ζk,ηk,ρk) и умножим значение функции в точке «Рk» на объем этой области.
Интегральной суммой для функции f(х, у,z) по области «Т» называется сумма вида:
Тройным интегралом от функции f(х, у,z) по области «Т» называется предел интегральной суммы при условии, что наибольший из диаметров элементарных областей стремится к нулю
Для непрерывной в области «Т» функции этот предел существует и не зависит от способа разбиения области «Т» на элементарные и от выбора точек «Рk».
Если f(х, у,z)>0 в области «Т», то тройной интеграл: 
представляет собой массу тела, занимающего область «Т» и имеющего переменную плотность γ = f(x, у,z) (физическое истолкование тройного интеграла).
Основные свойства тройных интегралов аналогичны свойствам двойных интегралов.
В декартовых координатах тройной интеграл обычно записывают в виде:
Область интегрирования «Т» определяется неравенствами х1≤x ≤ х2, y1(x)≤y ≤ y2(x), z1(x, y)≤z≤z2 (x, y), где y1(x), y2(x), z1(x, y), z2(x, y) - непрерывные функции.
Тогда тройной интеграл от функции f(х, у,z), распространенный на область «Т», вычисляется:
Если при вычислении тройного интеграла требуется перейти от переменных «х», «у», «z» к новым переменным «u», «v», «w», связанным с «х», «у», «z» соотношениями х = x(u, v,w), у=у(u, v,w), z = z(u, v,w),
где функции х(u, v,w), у(u, v,w), z(u, v,w), непрерывные вместе со своими частными производными первого порядка, устанавливают взаимно однозначное и в обе стороны непрерывное соответствие между точками области «Т» пространства (Oxyz) и точками некоторой области «Т‘» пространства (Ouvw) и якобиан «J» в области «Т‘» не обращается в нуль:
тогда тройной интеграл вычисляется:
4. Иллюстративный материал:
Презентация, слайды.
5. Литература:
Л. Высшая математика. Минск. ”Высшая школа”. 1987г.
И. Высшая математика. “Просвещение”, 1980г.
Е. Теория вероятностей и математическая статистика. М.,”Высшая школа”, издание 5.
Е. Руководство к решению задач по теории вероятностей и математической статистике. “Высшая школа”, изд.3.
К. и др. Актобе, 2005
Е. Медициналық статистика, Шымкент,1999 ж.
Қ. Қабдықайыр. Жоғары математика, Алматы, «Қазақ университеті», 2004.
6. Контрольные вопросы (обратной связи):
1. Что называем тройным интегралом?
2. В чем отличие основных свойств тройного от двойного интеграла?
ЛЕКЦИЯ №4
1. Тема:
Криволинейный интеграл первого рода и их основные свойтсва.
2. Цель: Объяснить студентам теорию криволинейных интегралов первого рода.
План лекции:
1. Криволинейный интеграл первого рода.
2. Основные свойства криволинейного интеграла первого рода.
3. Тезисы лекции:
Криволинейный интеграл первого рода:
Функция f(х, у) определена и непрерывна в точках дуги «АВ» гладкой кривой «К», имеющей уравнение у=φ(х) (а≤x ≤b).
Разобьем дугу «АВ» произвольным образом на «n» элементарных дуг точками А = А0, А1, А2,…, Аn = В.
Пусть ∆Sk - длина дуги Ak-1 Ak.
На каждой элементарной дуге выберем произвольную точку Мk(ζk, ηk) и умножим значение функции f(ζk, ηk) в этой точке на длину ∆Sk соответствующей дуги.
Интегральной суммой для функции f(х, у) по длине дуги «АВ» называется сумма:
Криволинейным интегралом по длине дуги «АВ» от функции f(х, у) называется предел интегральной суммы при условии, что max∆Sk→0:
где ds - дифференциал дуги.
Криволинейный интеграл I рода вычисляется по формуле
Основные свойства криволинейного интеграла первого рода:
1. Криволинейный интеграл I рода не зависит от направления пути интегрирования:
|
Из за большого объема этот материал размещен на нескольких страницах:
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 |
Основные порталы (построено редакторами)